[論文レビュー] Module super-amenability for semigroup algebras

Abasalt Bodaghi, Massoud Amini|ArXiv.org|Dec 23, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Banach代数が別のBanach代数作用するモジュール超アメニタリティを導入し、上向きに有向な単位元集合 $E$ を持つ逆半群 $S$ に対して、半群代数 $\ell^1(S)$ が $\ell^1(E)$-モジュール超アメニタリティであるための必要十分条件は、群準同型像 $S/\approx$ が有限であることであることを確立した。この結果は、セリバノフの群代数の超アメニタリティに関する定理を、モジュール構造を介して逆半群へ拡張するものである。

ABSTRACT

Let $S$ be an inverse semigroup with the set of idempotents $E$. In this paper we define the module super-amenability of a Banach algebra which is a Banach module over another Banach algebra with compatible actions, and show that when $E$ is upward directed and acts on $S$ trivially from left and by multiplication from right, the semigroup algebra $ \ell ^{1}(S)$ is $\ell^{1}(E)$-module super-amenable if and only if an appropriate group homomorphic image of $S$ is finite.

研究の動機と目的

• Banach代数におけるモジュール構造への超アメニタリティの概念を拡張すること。
• 上向きに有向な単位元集合を持つ逆半群の半群代数について、モジュール超アメニタリティを特徴づけること。
• セリバノフの群代数の超アメニタリティに関する定理の半群版を確立すること。
• $\ell^1(S)$ が $\ell^1(E)$-モジュール超アメニタリティであるのは、群像 $S/\approx$ が有限であるときであることを示すこと。
• モジュール超アメニタリティが標準的超アメニタリティを意味しないこと（特に単位元を持つ代数であっても）を示すこと。

提案手法

• Banach代数 $\mathcal{A}$ が別のBanach代数 $\mathfrak{A}$ による作用を受けるとき、$\mathcal{A}$ が $\mathfrak{A}$-モジュール超アメニタリティであると定義する。このとき、作用が整合的であることを仮定する。
• モジュール対角の概念を導入し、モジュール超アメニタリティが $\mathcal{A} \widehat{\otimes} \mathcal{A}$ 内にこのような対角が存在することと同値であることを示す。
• 商代数 $\ell^1(S)/J \cong \ell^1(S/\approx)$ を用いて、問題を群代数に還元する。
• セリバノフの定理（$L^1(G)$ が超アメニタリティであるのは $G$ が有限であるとき）を用い、群像 $S/\approx$ を分析する。
• $E$ が条件 $D_1$ を満たす場合に $\ell^1(E)$ が $\ell^1(S)$ に有界近似恒等元をもつことを利用し、商化においてモジュール超アメニタリティが保たれることを保証する。
• 行列代数 $M_n(\mathfrak{G})$ に明示的なモジュール対角を構成し、非超アメニタリティだがモジュール超アメニタリティである例を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆半群 $S$ の半群代数 $\ell^1(S)$ が、$S$ の単位元集合 $E$ に対して $\ell^1(E)$-モジュール超アメニタリティであるのはいつか？
• RQ2 $S$ にどのような構造的条件が成立すれば、$\ell^1(S)$ が $\ell^1(E)$-モジュール超アメニタリティになるか？
• RQ3 群像 $S/\approx$ の有限性は、$\ell^1(S)$ のモジュール超アメニタリティとどのように関係するか？
• RQ4 単位元を持つ代数であっても、モジュール超アメニタリティであるが超アメニタリティでない例は存在するか？
• RQ5 単位元集合 $E$ が上向きに有向であることの、$\ell^1(S)$ のモジュール超アメニタリティにおける役割は何か？

主な発見

• $\ell^1(S)$ が $\ell^1(E)$-モジュール超アメニタリティであるのは、群準同型像 $S/\approx$ が有限であるときである。
• 商代数 $\ell^1(S)/J$ は $\ell^1(S/\approx)$ に同型であり、この同型はモジュール構造を保存する。
• $\ell^1(S)$ のモジュール超アメニタリティは、$\ell^1(S)/J$ が超アメニタリティであることを意味し、セリバノフの定理により $S/\approx$ が有限でなければならない。
• 例として、$\ell^1(\mathbb{N})$（最大演算による）は、超アメニタリティでないが $\ell^1(E)$-モジュール超アメニタリティである例が存在する。
• 行列代数 $M_n(\mathfrak{G})$ は、$\mathfrak{G} = \ell^1(S)$ が弱くアメニタリティでない場合でも $\mathfrak{G}$-モジュール超アメニタリティである。これは、モジュール超アメニタリティが超アメニタリティよりも厳密に弱いことを示している。
• $\ell^1(\mathbb{N})$ の単位元は対角を生成しないことから、$\ell^1(\mathbb{N})$ は超アメニタリティでないことが示され、一方でモジュール超アメニタリティである。