[論文レビュー] Module theory over Leavitt path algebras and $K$-theory

Pere Ara, Miquel Brustenga|ArXiv.org|May 23, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、経路代数 $ P_k(E) $ の普遍局域化として構成される正則代数 $ Q_k(E) $ の高次 K-理論が、Leavitt 経路代数 $ L_k(E) $ の K-理論と、$ P_k(E) $ 上の有限長モジュールの族の K-理論に分解されることを示すことにより、Leavitt 経路代数上のモジュール論と K-理論の深い関係を確立する。主な結果は、$ i \geq 1 $ に対して $ K_i(Q_k(E)) \cong K_i(L_k(E)) \oplus \mathrm{Bla}_{i-1}(P_k(E)) $ という分解型完全列であり、古典的 Leavitt 代数の $ K_1 $ に関する先行結果を一般化する。

ABSTRACT

Let $k$ be a field and let $E$ be a finite quiver. We study the structure of the finitely presented modules of finite length over the Leavitt path algebra $L_k (E)$ and show its close relationship with the finite-dimensional representations of the inverse quiver $\overline{E}$ of $E$, as well as with the class of finitely generated $P_k(E)$-modules $M$ such that ${ m Tor}_q^{P_k (E)}(k^{|E^0|},M)=0$ for all $q$, where $P_k(E)$ is the usual path algebra of $E$. By using these results we compute the higher $K$-theory of the von Neumann regular algebra $Q_k (E)=L_k (E)Σ^{-1}$, where $Σ$ is the set of all square matrices over $P_k (E)$ which are sent to invertible matrices by the augmentation map $ε\colon P_k (E) o k^{|E^0|}$.

研究の動機と目的

• 古典的 Leavitt 代数 $ L(1,n) $ の正則代数 $ Q_n $ に対する $ K_1 $-計算に関する先行結果を、任意の有限クイバーに対して高次 K-理論へ一般化すること。
• Leavitt 経路代数 $ L_k(E) $ 上の有限長の有限生成表示モジュールと、逆クイバー $ \overline{E} $ の有限次元表現の間の構造的関係を確立すること。
• 特定のモノモルフィズムの類に関して、$ P_k(\overline{E}) $ の普遍局域化として正則代数 $ Q_k(E) $ を特徴付けること。
• 正則代数 $ Q_k(E) $ の高次 K-理論を $ K_i(L_k(E)) $ と、$ P_k(E) $-モジュールの有限長族の K-理論 $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) $ の観点から計算すること。

提案手法

• 普遍局域化を用いて、$ \Sigma $ が $ P_k(E) $ 上の行列から成り、$ k^{|E^0|} $ への増幅写像で可逆になるものであるとして、正則代数 $ Q_k(E) $ を $ L_k(E)\Sigma^{-1} $ として構成する。
• 定理 7.1 の普遍局域化に関する結果を適用し、$ P_k(E) \to P_{\mathrm{rat}}(E) $ および $ L_k(E) \to Q_k(E) $ の両方に対して K-理論の完全列を得る。
• $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) $ が、有限生成射影 $ P_k(\overline{E}) $-モジュール間のモノモルフィズムの余核であり、かつその余核が有限次元かつ射影的自由であるようなものからなる族と同一視できることを特定する。
• $ K_i(P_k(E)) \cong K_i(k^d) \cong K_i(k)^d $ を用いて、$ P_k(E) \to P_{\mathrm{rat}}(E) $ の K-理論完全列が分解することを示し、これにより $ Q_k(E) $ の類似の分解を導出する。
• $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) \cong \mathbf{fnP}(L_k(E))_{\mathrm{fl}} $ の同型を用いて、有限長 $ L_k(E) $-モジュールと逆クイバー $ \overline{E} $ の表現との関係を確立する。
• $ Q_k(E) $ の $ K_1 $-群を、$ N_E $ がクイバー $ E $ のインシデント行列である行列 $ 1 - N_E $ の核と余核を用いて計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限長の有限生成表示 $ L_k(E) $-モジュールの族は、$ k\langle y_1,\dots,y_n\rangle $-モジュールの有限次元族とどのように関係するか？
• RQ2 正則代数 $ Q_k(E) $ の高次 K-理論群の構造は何か？ また、$ L_k(E) $ および $ P_k(E) $ の K-理論とどのように関係するか？
• RQ3 正則代数 $ Q_k(E) $ は $ P_k(\overline{E}) $ の普遍局域化として実現可能か？ もしそうなら、どのクラスの準同型に関してか？
• RQ4 すべての $ i \geq 1 $ に対して $ K_i(Q_k(E)) $ の正確な分解は何か？ そして、それが分解可能か？
• RQ5 $ Q_k(E) $ の $ K_1 $-群は、特に sink やインシデント行列 $ N_E $ にどのように依存するか？

主な発見

• 正則代数 $ Q_k(E) $ の高次 K-理論は、$ i \geq 1 $ に対して分解型完全列 $ K_i(Q_k(E)) \cong K_i(L_k(E)) \oplus \mathrm{Bla}_{i-1}(P_k(E)) $ を満たす。
• $ P_k(E) $-モジュールの有限長族のカテゴリ $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) $ は、有限生成射影 $ P_k(\overline{E}) $-モジュール間のモノモルフィズムの余核であり、その余核が有限次元かつ射影的自由であるようなものからなるカテゴリと同倣である。
• $ Q_k(E) $ の $ K_1 $-群は、$ k^\times $ と $ \mathbb{Z} $ を係数とする行列 $ 1 - N_E $ の余核と核の直和に $ \mathrm{Bla}_0(P_k(E)) $ を加えたものと同型である。
• $ K_i(P_k(E)) \to K_i(P_{\mathrm{rat}}(E)) $ は単射であり、分解可能であり、$ K_i(P_{\mathrm{rat}}(E)) \cong K_i(k)^d \oplus \mathrm{Bla}_{i-1}(P_k(E)) $ が成り立つ。
• $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) $ は、有限長の有限生成表示 $ L_k(E) $-モジュールのカテゴリと同倣であり、モジュール論と逆クイバーの表現論との間の橋渡しを果たす。
• 正則代数 $ Q_k(E) $ は、有限次元かつ射影的自由な余核をもつモノモルフィズムの族 $ \Upsilon $ に関して、普遍局域化 $ P_k(\overline{E})\Upsilon^{-1} $ と同型である。