[論文レビュー] Modules formels locaux de feuilletages holomorphes

Jean-François Mattéi, Éliane Salem|ArXiv.org|Feb 16, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、2変数における正則1形式の広範なクラスについて、形式的不変量の完全分類を提供する。ここで導入されたのは、局所的形式的型と特異的除因子成分のホロノミー表現を保存する、等還元的変形（$\widehat{\mathrm{SL}}$-等正則変形）の概念である。有限形式的型（t.f.f.）の1形式は、明示的な組合せ的基準によって特徴付けられ、このような1形式の集合は、第二種の1形式の空間においてクルール位相で稠密な開部分集合をなすことを証明する。

ABSTRACT

We give a complete list of formal invariants for a large class of formal differential 1-forms $\w \in \Bbb C [[ x, y]]dx + \Bbb C [[ x, y]]dy$. \indent A $\hat{SL}$-equisingular deformation is an equireducible deformation which leaves invariant both the local formal types and the holonomy representation of the components of the exceptional divisor. We characterize the 1-forms with finite formal type (t.f.f), i.e. those which admit a semi-universal $\hat{SL}$-equisingular deformation, and we give an explicit combinatorial criterion of finiteness. \indent The set of 1-forms with finite formal type contains a dense open set (in the sense of Krull's topology)in the set of 1-forms of the second kind.

研究の動機と目的

• 2変数における広範なクラスの形式的正則1形式の形式的不変量の完全リストを提供すること。
• $\widehat{\mathrm{SL}}$-等正則変形（特異的除因子成分の局所的形式的型とホロノミー表現を保存する等還元的変形）を定義し、それらを研究すること。
• 1形式が有限形式的型（t.f.f.）であるための明示的な組合せ的有限性基準を確立すること。
• t.f.f. 1形式の集合が第二種の1形式の空間においてクルール位相で稠密であることを証明すること。
• t.f.f. 1形式に対して、半普遍的$\widehat{\mathrm{SL}}$-等正則変形が存在することを確立すること。

提案手法

• 特異点の解析に、解消木（ブロー・アップ木）と双対グラフの理論を用いる。
• foliation $\mathcal{F}$ に関連する完全な神経 $\widehat{\mathfrak{N}}(\mathcal{F})$ の概念を導入し、色分け、重み付け、局所的向きを備える。
• 解消空間上の局所的変形を貼り合わせる（コラーリング）構成を用いて、形式的変形論を適用する。
• ホロノミー表現と横断的微分同相写像を用いて、変形下での不変量の追跡を行う。
• 解消プロセスに沿って帰納的に変形を構成し、解消木の鎖や先端部分に沿って段階的に変形を構築する。
• ホロノミーの非アーベル的かつ非周期的モノドロミーを保証するため、正則な形式的微分同相写像の族に関する重要な補題を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般に、$\mathbb{C}[[x,y]]$ 内の正則1形式のクラスについて、形式的不変量の完全な集合は何か？
• RQ2 どの1形式が半普遍的$\widehat{\mathrm{SL}}$-等正則変形を許容するか？ それらはどのように特徴づけられるか？
• RQ3 1形式が有限形式的型を有するかどうかを判定するための組合せ的基準を提示できるか？
• RQ4 有限形式的型の1形式の集合は、クルール位相において第二種の1形式の空間において稠密か？
• RQ5 ホロノミー表現と局所的形式的型は、$\widehat{\mathrm{SL}}$-等正則変形の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 広範なクラスの2変数正則1形式について、形式的不変量の完全リストが提供された。
• 本稿は、局所的形式的型とホロノミー表現を保存する等還元的変形としての$\widehat{\mathrm{SL}}$-等正則変形を導入し、その特徴づけをなした。
• 1形式が有限形式的型（t.f.f.）であるための必要十分条件は、その解消木（完全な神経）におけるある組合せ的条件の満たし方にある。
• t.f.f. 1形式の集合は、第二種の1形式の空間においてクルール位相で稠密な開部分集合をなす。
• 半普遍的$\widehat{\mathrm{SL}}$-等正則変形が存在するのは、t.f.f. 1形式に限られ、その存在は有限性基準によって特徴づけられる。
• 変形の構成は、解消木に沿って帰納的に行われ、望ましいモノドロミー行動を実現するために正則な形式的微分同相写像の族が用いられる。