[論文レビュー] Modules Over Affine Lie Superalgebras

Jiang-Bei Fan, Ming Yu|ArXiv.org|Apr 26, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、Kac-Moody代数の主要な結果をアフィンリーハイパー代数へ一般化し、特に $\check{OSP(1,2)}$ に対して、Kac-Kazhdanの公式とMalikov-Feigin-Fuchs（MFF）構成を拡張して、ヴェルマ加群における特異ベクトルの重みおよび明示的形を計算する。さらに、アドミッスィブ表現を $\check{SL(2)}\otimes$ ヴィラスロ代数へ分解し、モジュラーS行列と融合則を導出し、自由場実現を用いたワキモト加群を介してフェルダーBRST複体を構成する。

ABSTRACT

Modules over affine Lie superalgebras ${\cal G}$ are studied, in particular, for ${\cal G}=\hat{OSP(1,2)}$. It is shown that on studying Verma modules, much of the results in Kac-Moody algebra can be generalized to the super case. Of most importance are the generalized Kac-Kazhdan formula and the Malikov-Feigin-Fuchs construction, which give the weights and the explicit form of the singular vectors in the Verma module over affine Kac-Moody superalgebras. We have also considered the decomposition of the admissible representation of $\hat{OSP(1,2)}$ into that of $\hat{SL(2)}\otimes$Virasoro algebra, through which we get the modular transformations on the torus and the fusion rules. Different boundary conditions on the torus correspond to the different modings of the current superalgebra and characters or super-characters, which might be relevant to the Hamiltonian reduction resulting in Neveu-Schwarz or Ramond superconformal algebras. Finally, the Felder BRST complex, which consists of Wakimoto modules by the free field realization, is constructed.

研究の動機と目的

• Kac-Moody代数からアフィンリーハイパー代数へヴェルマ加群の構造理論を拡張すること、特に $\check{OSP(1,2)}$ に対して。
• Kac-Kazhdanの公式とMFF構成を、アフィンKac-Moody超代数上のヴェルマ加群における特異ベクトルの重みおよび明示的形を計算するために一般化すること。
• $\check{OSP(1,2)}$ のアドミッスィブ表現が $\check{SL(2)}\otimes$ ヴィラスロ加群へどのように分解されるかを分析し、その結果としてモジュラーS変換および融合則を導出すること。
• $\check{OSP(1,2)}$ に対して、ワキモト加群と自由場実現を用いてフェルダーBRST複体を構成すること。
• 超群WZNWモデルの文脈において、コセット構成 $\check{G}/\check{G}_0$ が $W_N$ 代数への道筋となるかを検討すること。

提案手法

• GKOコセット構成を用いて、$\check{SL(2)}$ で割ることで $\check{OSP(1,2)}$ 内に隠れたヴィラスロ代数を同定する。
• 既知の $\check{SL(2)}$ およびヴィラスロ代数のモジュラーデータを用いて、$\check{OSP(1,2)}$ のアドミッスィブ表現の融合則をVerlindeの公式により計算する。
• 現在の超代数の自由場実現を介してワキモト加群を構成し、BRSTコホモロジー解析を可能にする。
• ハミルトニアン還元の文脈において物理的状態を分析するため、フェルダーBRST複体形式主義を適用する。
• 誘導および超代数的設定における対称多項式恒等式を用いて、一般化されたKac-Kazhdanの公式およびMFF構成を導出する。
• Dotsenko-Fateev型積分のBRSTコホモロジー計算において、解析接続および輪環変形技術を用いて評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェルマ加群の可約性に関するKac-Kazhdanの公式をアフィンリーハイパー代数へどのように一般化できるか。
• RQ2 アフィンKac-Moody超代数上のヴェルマ加群における特異ベクトルの明示的形は何か。また、MFF構成はどのように超代数的状況へ拡張されるか。
• RQ3 $\check{OSP(1,2)}$ のアドミッスィブ表現は $\check{SL(2)}\otimes$ ヴィラスロ加群へどのように分解されるか。その結果として得られるモジュラーS変換および融合則は何か。
• RQ4 ワキモト加群と自由場実現を用いた $\check{OSP(1,2)}$ のBRSTコホモロジーの構造は何か。
• RQ5 超群 $G$ に対してコセット構成 $\check{G}/\check{G}_0$ は、ハミルトニアン還元の文脈で $W_N$ 代数へ至る道筋となるか。

主な発見

• 一般化されたKac-Kazhdanの公式（式166）は、アフィンリーハイパー代数上のヴェルマ加群における特異ベクトルの重みを決定する。
• MFF構成は超代数的状況へ成功裏に一般化され、ヴェルマ加群における特異ベクトルの明示的表現を提供する。
• $\check{OSP(1,2)}$ のアドミッスィブ表現は $\check{SL(2)}\otimes$ ヴィラスロ加群へ分解可能であり、その結果、構成的代数の既知のデータからモジュラーS変換を導出可能である。
• アドミッスィブ表現の融合則はVerlindeの公式により計算され、負の整数を含むことが判明し、最高重み状態の結合に最低重み状態が存在することを示唆する。
• ワキモト加群と自由場実現を用いて、$\check{OSP(1,2)}$ に対してフェルダーBRST複体が構成され、輪環積分および対称多項式解析を介して非自明なコホモロジーが確立された。
• BRSTコホモロジー計算により、状態 $Q_m|m,-s\rangle$ が $0 < m < \tilde{q}$ で非ゼロであることが確認され、コホモロジー内での物理的状態の内容が裏付けられた。