[論文レビュー] Modules universels de GL(3) sur un corps p-adique en caractéristique p

Rachel Ollivier, Vincent Sécherre|arXiv (Cornell University)|May 15, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$p$ を奇素数として、$p$-進体 $F$ で残渣体の位数が $p$ である $\mathrm{GL}_3(F)$ の mod $p$ における普遍モジュールの平坦性と射影性を調査する。アフィンブレヒャート＝ティッツ複体上のホモロジー的係数系を用い、有限群および $p$-進群上のヘッケモジュールの構造を解析することで、アイワホリ部分群に対する普遍モジュールがアイワホリ＝ヘッケ代数上で平坦かつ射影的であることを証明する。一方、プロ-$p$ アイワホリ部分群に対しては、平坦性が成り立つのは $p = 2$ の場合に限る。これは、$p$-進群の mod $p$ 表現論における重要な構造的問題を解決する。

ABSTRACT

Let F be a p-adic field with residue class field k. We investigate the structure of certain mod p universal modules for GL(3,F) over the corresponding Hecke algebras. To this end, we first study the structure of some mod p universal modules for the finite group GL(n,k) as modules over the corresponding Hecke algebras. We then relate this finite case to the p-adic one by using homological coefficient systems on the the affine Bruhat-Tits building of GL(3). Suppose now that k has cardinality p. We prove that the mod p universal module of GL(3,F) relative to the Iwahori subroup is flat and projective over the Iwahori-Hecke algebra. When replacing the Iwahori subgroup of GL(3,F) by its pro-p-radical, we prove that the corresponding module is flat over the pro-p Iwahori-Hecke algebra if and only if p=2.

研究の動機と目的

• 特性 $p$ における $\mathrm{GL}_3(F)$ のアイワホリおよびプロ-$p$ アイワホリ ヘッケ代数上の普遍モジュールの平坦性と射影性を特定すること。
• アフィンブレヒャート＝ティッツ複体上のホモロジー的係数系を用いて、位数 $p$ の有限体 $k$ における $\mathrm{GL}_n(k)$ の mod $p$ 普遍モジュールの構造を、$p$-進の場合にまで関連付けること。
• アイワホリ部分群に関連する普遍モジュールが、対応するヘッケ代数上で平坦または射影的となる条件を確立すること。
• 特に、$p \neq 2$ のときの平坦性の失敗に関連して、残渣体の位数 $q = p$ が $\mathrm{GL}_3(F)$ の特性 $p$ 表現論において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 有限ヘッケ代数上の $\mathrm{GL}_n(k)$ の mod $p$ 普遍モジュールの構造を、圏論的およびホモロジー的道具を用いて分析する。
• アフィンブレヒャート＝ティッツ複体にホモロジー的係数系を構成し、有限群の場合と $p$-進群の場合を関連付ける。
• プロ-$p$ 不変関手を適用することで、$\mathrm{GL}_3(F)$ 上のコンパクト台付き関数（値は $\overline{\mathbf{F}}_p$ にとる）の空間にアイワホリ部分群に関して不変なヘッケモジュール構造を誘導する。
• 平坦性を解析するため、$0 \to \mathrm{Im}\partial_1 \to \mathscr{F}_0(X,\mathcal{C}) \to \mathcal{C} \to 0$ という $\mathcal{H}$-モジュールの複体を用い、ネーター環における単射性および平坦性の基準に依拠する。
• バース＝パパ theorem およびネーター環上の射影モジュールの性質を適用し、関連モジュールの平坦性から平坦性および射影性を導出する。
• イデムポテン成分 $\boldsymbol{\varepsilon}_1$ を用いて、商モジュール $\mathcal{C}^\prime$ の研究を有限群の場合に還元し、ヘッケ代数モジュールに関する既知の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アイワホリ部分群に関する $\mathrm{GL}_3(F)$ の普遍モジュールが、アイワホリ＝ヘッケ代数上で平坦であるための条件は何か？
• RQ2 プロ-$p$ アイワホリ部分群に関する普遍モジュールが、プロ-$p$ アイワホリ＝ヘッケ代数上で平坦であるかどうか。もし平坦であるならば、どの素数 $p$ に対して成り立つか？
• RQ3 $k = \mathbf{F}_p$ における $\mathrm{GL}_3(k)$ のヘッケモジュール構造と、$F$ が $p$-進体である $\mathrm{GL}_3(F)$ のヘッケモジュール構造との関係は何か？
• RQ4 普遍モジュール $\mathcal{C}$ の平坦性と、その部分商 $\mathrm{Im}\partial_1$ の平坦性との正確な関係は何か？
• RQ5 プロ-$p$ アイワホリ部分群に関連する普遍モジュール $\mathcal{C}^\prime$ が $p = 2$ のときに射影的になるのか。この現象が $\mathrm{GL}_3(F)$ の表現論に与える意味は何か？

主な発見

• アイワホリ部分群に関する $\mathrm{GL}_3(F)$ の普遍モジュール $\mathcal{C}$ は、アイワホリ＝ヘッケ代数上で平坦かつ射影的である。これは、$\mathrm{Im}\partial_1$ の平坦性および複体 $0 \to \mathrm{Im}\partial_1 \to \mathscr{F}_0(X,\mathcal{C}) \to \mathcal{C} \to 0$ の完全性によって確立される。
• $q = p \neq 2$ のとき、$\mathcal{H}$-モジュール $\mathcal{C}$ は平坦でない。なぜなら、$\mathrm{Im}\partial_1$ の平坦性から $\mathscr{F}_0(X,\mathcal{C})$ の平坦性が導かれることになり、既知の結果と矛盾するからである。
• プロ-$p$ アイワホリ＝ヘッケ代数に対しては、普遍モジュール $\mathcal{C}^\prime$ が平坦であるのは $p = 2$ の場合に限る。これは、この条件下での $\mathcal{C}^\prime$ の射影性によって示される。
• $\mathcal{H}^\prime$-モジュール $\mathcal{C}^\prime$ は $q = p$ のとき射影的であり、特に $p = 2$ のとき、$\mathcal{C}$ がアイワホリ＝ヘッケ代数上で射影的であることを示唆する。
• $\mathcal{C}^{\mathrm{U}_{\sigma_1}}$ が平坦であるとき、$\mathrm{Im}\partial_1$ は $\mathscr{F}_0(X,\mathcal{C})$ の直和成分である。$q = p$ のときこれは成り立つため、$\mathrm{Im}\partial_1$ の平坦性が保証される。
• $\mathcal{H}^\prime$-モジュール $\mathcal{C}^\prime$ は $\mathscr{F}_0(X,\mathcal{C}^\prime)$ の直和成分であり、$\mathscr{F}_0(X,\mathcal{C}^\prime)$ は $\mathcal{C}^{\prime{\mathrm{U}_{\sigma_0}}}$ のコピーの直和である。$q = p$ のとき $\mathcal{C}^{\prime{\mathrm{U}_{\sigma_0}}}$ は射影的であるため、$\mathcal{C}^\prime$ も射影的である。