[論文レビュー] Moduli of abelian varieties and p-divisible groups

Ching-Li Chai, Frans J. Oort|ArXiv.org|Jan 17, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 67被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、有限体上における極分類付きアーベル多様体のモジュライ空間における通常のヘッケ軌道の密度を確立し、$p$-除法群の変形に関するグロタンディークの予想を証明する。セール＝タイト理論、ディエュドネ加群理論、ニュートン多角形層別を用いて、ヘッケ軌道がそのニュートン多角形層別に強く稠密であることを示し、$p$-進ホッジ理論および正標数における変形論からの主要な道具が用いられる。

ABSTRACT

Lecture notes at a conference on Arithmetic Geometry, Goettingen, July/August 2006: Density of ordinary Hecke orbits and a conjecture by Grothendieck on deformations of p-divisible groups.

研究の動機と目的

• 正標数におけるアーベル多様体の算術幾何学の主要な問題である、モジュライ空間$\mathcal{A}_{g,1,n} \otimes \mathbb{F}_p$における通常のヘッケ軌道の稠密性を確立すること。
• $p$-除法群の変形函手のプロ代表可能性に関するグロタンディークの予想を証明し、モジュライ空間の局所構造に関する基礎的洞察を提供すること。
• 特に$p$-進および$\ell$-進モノドロミー、ディエュドネ加群、カルティエ加群を含む正標数における技法が、解析的手法に失敗する場合でもモジュライ空間を研究する強力な道具を提供することを示すこと。
• ヘッケ軌道、中心葉、同一型葉の関係をニュートン多角形層別において明確にすることを目的とし、特に対称的局所の幾何的成分上でヘッケ-$\alpha$作用が推移的であることを示すこと。
• $a \leq 1$ である点におけるモジュライ空間の形式的完成における座標の幾何的解釈を、形式的スキーム$\mathop{\mathrm{Spf}}(B_{\xi})$および$B_{(\xi;\xi^*)}$の構成を通じて与えること。

提案手法

• アーベル多様体の変形とその$p$-除法群の変形との関係を結ぶセール＝タイト理論を用いて、算術と$p$-進幾何学の橋渡しを確立する。
• ディエュドネ加群理論およびカルティエ加群理論を応用して$p$-除法群を分析し、その変形函手およびニュートン多角形層別の研究を可能にする。
• カイリー＝ハミルトン予想および弱いグロタンディーク予想を用いて、自己準同型代数の構造とそれらが$p$-除法群に作用する様子を分析する。
• ヘッケ軌道の挙動とニュートン層における稠密性を説明するための主要な例として、ヒルベルトモジュラー多様体を用いる。
• GAGA型定理（チョウ＝グロタンディーク）を適用して形式的変形を代数化し、変形函手のプロ代表可能性を証明する。
• ニュートン層の形式的完成における局所座標をパラメトライズするため、形式的スキーム$\mathop{\mathrm{Spf}}(B_{\xi})$および$B_{(\xi;\xi^*)}$を導入する。ここで$B_{(\xi;\xi^*)}$は、$k$上での変数$\triangle(\xi;\xi^*)$に添えられたべき級数環として定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Q}$-同一型の作用の下で、モジュライ空間$\mathcal{A}_{g,1,n} \otimes \mathbb{F}_p$における通常のヘッケ軌道は稠密か？
• RQ2 正標数の体上の$p$-除法群の変形函手は、グロタンディークが予想したように普遍変形をもつのか？
• RQ3 ヘッケ軌道の閉包はニュートン多角形層別の合併として記述可能か？また、中心葉と同一型葉はこの構造とどのように関係するか？
• RQ4 特に部分環$B_{(\xi;\xi^*)}$との関係において、$({\cal W}_{\xi}({\cal A}_{g,1,n}))^{\wedge x}$における座標の幾何的意味は何か？
• RQ5 包含$\triangle(\xi;\xi^*) \subset \triangle(\xi)$は、包含$({\cal C}(x))^{\wedge x} \subset ({\cal W}_{\xi}({\cal A}_{g,1,n}))^{\wedge x}$を誘導するか？そしてこれは中心葉の構造に何を意味するか？

主な発見

• 通常のヘッケ軌道はそのニュートン多角形層別において稠密であり、軌道の閉包はその層全体に一致する。これは、特に対称的局所におけるヘッケ-$\alpha$作用の推移性によって示される。
• グロタンディークの$p$-除法群の変形函手のプロ代表可能性に関する予想は証明され、普遍変形は代数化を通じて$\mathrm{Spec}(R)$上の極分類付きアーベルスキームとして実現される。
• $\mathcal{A}_{g,1,n} \otimes K$は任意の正標数$p$の体$K$に対して幾何学的に既約である。この結果は$p$-進手法によって確立され、ファルティングスおよびチャイによって確認された。
• $a \leq 1$ である点$x$におけるモジュライ空間の形式的完成は、$\mathop{\mathrm{Spf}}(B_{\xi})$で与えられる座標系をもつ。ここで$B_{\xi} = k[[Z_{x,y} \mid (x,y) \in \triangle(\xi)]]$であり、商$B_{(\xi;\xi^*)}$は中心葉の部分多様体に対応する。
• $\triangle(\xi;\xi^*) \subset \triangle(\xi)$の包含は、閉埋め込み$\mathop{\mathrm{Spf}}(B_{(\xi;\xi^*)}) \to \mathop{\mathrm{Spf}}(B_{\xi})$を誘導し、座標のニュートン多角形層別に関する幾何的解釈を示唆する。
• 通常の点の中心葉は、その開ニュートン多角形層別全体である。一方、対称的点では中心葉は有限であり、同一型葉は対称的局所全体である。この性質はヘッケ軌道の稠密性を説明するのに寄与する。