[論文レビュー] Moduli of $G_2$ structures and the Strominger system in dimension 7

Andrew Clarke, Mario García-Fernández+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、4形式のバイオッチ型恒等式を介してねじれを伴う$G_2$構造と$G_2$-インスタントンを結合することで、ストロミンガー系の7次元版を導入し、楕円型微分作用素理論を用いてモジュライ空間の有限次元性を確立している。さらに、解が一般化幾何学と関連づけられ、コhomological複体を介して無限小モジュライ空間の新たな特徴付けが得られている。

ABSTRACT

We consider $G_2$ structures with torsion coupled with $G_2$-instantons, on a compact $7$-dimensional manifold. The coupling is via an equation for $4$-forms which appears in supergravity and generalized geometry, known as the Bianchi identity. The resulting system of partial differential equations can be regarded as an analogue of the Strominger system in $7$-dimensions. We initiate the study of the moduli space of solutions and show that it is finite dimensional using elliptic operator theory. We also relate the associated geometric structures to generalized geometry.

研究の動機と目的

• コンパクトな7次元多様体上のねじれを伴う$G_2$構造のモジュライ空間を、ヘテロティック超重力理論における物理的モデルに由来して研究すること。
• 6次元から7次元へストロミンガー系を拡張するために、$G_2$構造と$G_2$-インスタントン、および4形式のバイオッチ恒等式を結合すること。
• 楕円型微分作用素理論と一般化幾何学を用いて、解空間の有限次元性を確立すること。
• モジュライ空間をコhomological不変量とヘテロティック弦理論のコンパクト化におけるフラックス量子化と関連づけること。
• 同様のコhomological枠組みを用いて、$G_2$-ホロノミー計量の無限小モジュライ空間の特徴付けを新たな証明で示すこと。

提案手法

• タイプ$W_3$のcocalibrated $G_2$構造、$G_2$-インスタントン、ねじれ3形式$H$のバイオッチ恒等式を組み合わせたPDE系を定式化する。
• 計量、接続、ドリンフォン場を含む、$E = TM \oplus \text{ad}P \oplus T^*M$ 上のコルタン代数的構造を用いて、系をモデル化する。
• 微分作用素の線形化複体$\Omega^0(E) \xrightarrow{\hat{\mathbf{P}}} T_x\hat{\mathcal{P}} \xrightarrow{\hat{\mathbf{L}}} \Omega^7 \times \Omega^5 \times \Omega^3 \times \Omega^6(\text{ad}P)$ を導入し、これが楕円型であることを示す。
• 楕円型正則性および指数理論を適用し、複体の1次コhomology $H^1(\widehat{KS}_7)$ が有限次元であることを証明する。
• 無限小変形とコルタン代数的構造の変化を関連付けるため、フラックス写像$\delta: H^1(KS_7) \to H^3(M)$ を定義する。
• 拡張列$0 \to H^2(M) \to H^1(\widehat{KS}_7) \to \ker\delta \to 0$ を導出し、モジュライ空間と物理的フラックス量子化を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれを伴う$G_2$構造と$G_2$-インスタントンが結合された7次元における、モジュライ空間の構造は何か？
• RQ2 4形式曲率のバイオッチ恒等式は、ストロミンガー系を7次元へ一般化する方法としてどのように機能するか？
• RQ3 楕円型PDE理論を用いて、このような解のモジュライ空間が有限次元であることを示せるか？
• RQ4 解は一般化幾何学およびコルタン代数的構造とどのように関連しているか？
• RQ5 フラックス写像$\delta$は、フラックス量子化と整合する無限小変形を分類するために果たす役割は何か？

主な発見

• 7次元ストロミンガー系の解のモジュライ空間は、線形化複体の楕円型性によって、有限次元であることが示された。
• 無限小モジュライ空間$H^1(\widehat{KS}_7)$ は、$\delta$ を$H^3(M)$ へのフラックス写像として、拡張$0 \to H^2(M) \to H^1(\widehat{KS}_7) \to \ker\delta \to 0$ に含まれる。
• 複体$\Omega^0(E) \xrightarrow{\hat{\mathbf{P}}} T_x\hat{\mathcal{P}} \xrightarrow{\hat{\mathbf{L}}} \Omega^7 \times \Omega^5 \times \Omega^3 \times \Omega^6(\text{ad}P)$ が楕円型であることが証明された。
• $H^1(\widehat{KS}_7)$ は、ヘテロティック弦理論のコンパクト化におけるフラックス量子化と整合する物理的変形をパラメトライズする。
• 同様のコhomological枠組みを用いて、$G_2$-ホロノミー計量の無限小モジュライ空間が$H^3(M,\mathbb{R})$ と同型であるという新たな証明が得られた。
• 解がコルタン代数的構造の自己同型群の作用に関して不変であり、その対称性は$\hat{\mathbf{P}}$ の像によって商取られたことで要約されている。