[論文レビュー] Moduli of McKay quiver representations II: Groebner basis techniques

Alastair Craw, Diane Maclagan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、グレブナー基底とトーリック幾何を用いた計算的手法を開発し、特にモジュライ空間の整合成分 $Y_\theta$ を研究する。$\theta$-安定な $G$-定束が $Y_\theta$ に属するかどうかを判定するためのアルゴリズムを提示し、$Y_\theta$ が $G$-ヒルベルトスキームに一致する場合には明示的な局所座標近傍を提供する。主な貢献は、非正規な $G$-ヒルベルトスキームの構成であり、中村の正規性に関する疑問に答えている。

ABSTRACT

In this paper we introduce several computational techniques for the study of moduli spaces of McKay quiver representations, making use of Groebner bases and toric geometry. For a finite abelian group G in GL(n,k), let Y_θbe the coherent component of the moduli space of θ-stable representations of the McKay quiver. Our two main results are as follows: we provide a simple description of the quiver representations corresponding to the torus orbits of Y_θ, and, in the case where Y_θequals Nakamura's G-Hilbert scheme, we present explicit equations for a cover by local coordinate charts. The latter theorem corrects the first result from [Nakamura]. The techniques introduced here allow experimentation in this subject and give concrete algorithmic tools to tackle further open questions. To illustrate this point, we present an example of a nonnormal G-Hilbert scheme, thereby answering a question raised by Nakamura.

研究の動機と目的

• グレブナー基底とトーリック幾何を用いて、McKay モジュライの計算的ツールを開発すること。
• どの $\theta$-安定な $G$-定束がモジュライ空間の整合成分 $Y_\theta$ に属するかを特徴づけること。
• $Y_\theta$ と一致する $G$-ヒルベルトスキーム $\operatorname{Hilb}^G$ の明示的な局所座標近傍を提供すること。
• 中村の $\operatorname{Hilb}^G$ の正規性に関する疑問に、反例を構成することで答えること。

提案手法

• 重みベクトル $({\bf v}, {\bf w})$ に対する McKay モジュール $M_G$ の初期モジュールをグレブナー理論を用いて計算する。
• $\theta$-汎関数の最小化者 $\mathbf{v} \in P^\vee_{\mathbf{w}}$ を線形計画法により求め、すべての $\mathbf{v}' \in P^\vee_{\mathbf{w}}$ に対して $\theta \cdot \mathbf{v} \leq \theta \cdot \mathbf{v}'$ が成り立つようにする。
• 特徴的な $\theta$-半安定な $G$-定束を、$A$-代数 $A / \operatorname{in}_{({\bf v},{\bf w})}(M_G)$ として構成する。
• 初期イデアル $J$ を、特定の重みベクトル（例：$(22,10,16,50,31,21)$）に対するラティスイデアル $I_M$ の初期イデアルとして定義する。
• Normaliz を用いて関連する半群 $A_J$ の半群正規性をテストし、$\operatorname{Hilb}^G$ が正規かどうかを判定する。
• $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4$ に同型な部分群 $G \subset \operatorname{GL}(6,\Bbbk)$ を用いて、非正規な $G$-ヒルベルトスキームの反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限アーベル部分群 $G \subset \operatorname{GL}(n,\Bbbk)$ に対して、$G$-ヒルベルトスキーム $\operatorname{Hilb}^G$ は正規であるか？
• RQ2 $\theta$-安定な $G$-定束が整合成分 $Y_\theta$ に属するかどうかをアルゴリズム的に判定できるか？
• RQ3 $Y_\theta$ と一致する $G$-ヒルベルトスキームの明示的な局所座標近傍は何か？
• RQ4 Sardo Infirri が主張するように、モジュライ空間 $\mathcal{M}_\theta$ は常にトーリック多様体であるか？
• RQ5 計算代数幾何の手法を用いて、非正規な $G$-ヒルベルトスキームを構成できるか？

主な発見

• 本稿では、$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4$ に同型な $G \subset \operatorname{GL}(6,\Bbb{k})$ に対して非正規な $G$-ヒルベルトスキームを構成し、中村の正規性に関する疑問に否定的に答えている。
• イデアル $J$ に関連する半群 $A_J$ は正規でない。これは、有理錐内にあるが $A_J$ に属さないベクトル $(3,2,-3,1,-1,-2)$ によって裏付けられる。
• イデアル $J$ は重みベクトル $(22,10,16,50,31,21)$ に対するラティスイデアル $I_M$ の初期イデアルとして得られ、$\operatorname{Hilb}^G$ 内の $G$-クラスタを定義することが確認された。
• 線形計画法の解法と初期モジュールの計算に基づくアルゴリズムにより、$\theta$-安定な $G$-定束が $Y_\theta$ に属するかどうかを実用的に判定できる。
• 例 4.12 および 5.7 における反例により、Sardo Infirri が主張する「すべての $\mathcal{M}_\theta$ はトーリック多様体である」という主張は誤りであることが示された。
• 整合成分 $Y_\theta$ は常に正規ではない。構成された例における $\operatorname{Hilb}^G$ の非正規性がそれを示している。