[論文レビュー] Moduli of parahoric $\mathcal G$--torsors on a compact Riemann surface

V. Balaji, C. S. Seshadri|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなリーマン面におけるブラウト=ティツ群スキーム $\sigma$ を用いて、半安定パラホリック $\sigma$- torsor のモジュライ空間を導入し、単純な代数的群 $G$ の最大コンパクト部分群へのフクシアン群からの準同型を用いて構成する。主な結果は、このモジュライ空間の底付き位相的空間が、タイプ $\boldsymbol{\tau}$ のようなこのような準同型の空間に同相であることを特定し、メーハ・セーシャドリのパラボリックベクトルバンドルに関する結果を一般化する。

ABSTRACT

Let $X$ be an irreducible smooth projective algebraic curve of genus $g \geq 2$ over the ground field $\bc$ and let $G$ be a semisimple simply connected algebraic group. The aim of this paper is to introduce the notion of semistable and stable parahoric torsors under a certain Bruhat-Tits group scheme $\mathcal G$ and construct the moduli space of semistable parahoric $\mathcal G$--torsors; we also identify the underlying topological space of this moduli space with certain spaces of homomorphisms of Fuchsian groups into a maximal compact subgroup of $G$. The results give a generalization of the earlier results of Mehta and Seshadri on parabolic vector bundles. This is the final version of the accepted paper.

研究の動機と目的

• コンパクトリーマン面上のブラウト=ティツ群スキーム $\sigma$ におけるパラホリック torsor に対する、半安定パラボリックベクトルバンドルのモジュライ空間構成を一般化すること。
• 半単純 simply connected 代数的群 $G$ の文脈において、パラホリック $\sigma$-torsor における半安定性および安定性の概念を定義し、研究すること。
• 半安定パラホリック $\sigma$-torsor のモジュライ空間が、固定された共軌型タイプ $\boldsymbol{\tau}$ のフクシアン群から $G$ の最大コンパクト部分群への準同型の空間に、位相的に同定されることを確立すること。

提案手法

• コンパクトリーマン面 $X$ の均質化を $\mathbb{H}/\pi$ とし、$\pi$ を $m$ 個の点における指定された分岐データを持つフクシアン群とする。
• パラホリック torsor を、$G$ の有理数パラメータ群の部分群に対応する重み $\boldsymbol{\theta}$ を持つ $\mathcal{G}$-torsor として定義し、パラボリックバンドルを一般化する。
• 関連する準同型 $\rho: \pi \to G$ のタイプ $\boldsymbol{\tau}$ に基づいて、パラボリックバンドルと類似したパラホリック torsor の安定性条件を導入する。
• 幾何的不変量理論 (GIT) を用いて、その底付き位相的空間が $R^{\boldsymbol{\tau}}(\pi, K_G)$、すなわちタイプ $\boldsymbol{\tau}$ の $K_G$-値準同型の空間に同定される、射影的代数的多様体としてモジュライ空間を構成する。
• ブラウト=ティツ群スキームおよびイワハリ部分群の理論を応用し、異なるパラホリック構造を持つモジュライスタック間の一般化されたヘッケ対応を定義する。
• 被覆群を用いて単連結の場合に還元することで、再帰的群への構成を拡張し、普遍被覆の中心の役割を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトリーマン面上のブラウト=ティツ群スキーム $\mathcal{G}$ におけるパラホリック torsor に対して、パラボリックベクトルバンドルからの半安定性および安定性の概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 半安定パラホリック $\mathcal{G}$-torsor のモジュライ空間の位相的構造は何か。また、その表面の基本群から $G$ の最大コンパクト部分群への準同型とどのように関係するか。
• RQ3 モジュライ空間が GIT を用いて射影的代数的多様体として構成可能か。その次元は、種数および分岐データを用いてどのように表されるか。
• RQ4 ヘッケ対応はパラホリック torsor の文脈でどのように生じるか。また、異なるパラホリック構造のモジュライスタック間の準同型とどのように関係するか。
• RQ5 モジュライ空間 $\mathcal{G}$-torsor と、固定タイプ $\boldsymbol{\tau}$ の表現 $\rho: \pi \to K_G$ の空間との関係は何か。

主な発見

• 半安定パラホリック $\mathcal{G}$-torsor のモジュライ空間 $M(\mathcal{G}_{\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\tau}},X})$ は、GIT を用いて構成された正規な射影的代数的多様体であり、その底付き位相的空間は、タイプ $\boldsymbol{\tau}$ の $K_G$-値準同型の空間 $R^{\boldsymbol{\tau}}(\pi, K_G)$ に自然に同定される。
• モジュライ空間の次元は、$\dim_{\mathbb{C}}(G)(g-1) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m e(\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\tau}})$ で与えられ、ここで $e(\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\tau}})$ は重み $\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\tau}}$ の関数である。
• 再帰的群 $H$ に対しては、$H$-バンドルのモジュライ空間は、単連結被覆 $\tilde{H}$ のそれと関係し、その連結成分の数は $\tilde{H}$ の中心の位数に等しい。
• ヘッケ対応は、$\mathcal{G}_\mathcal{I} \to \mathcal{G}^{st}_\alpha$ や $\mathcal{G}_\mathcal{I} \to \mathcal{G}_{\theta_\alpha}$ のようなパラホリック群スキームの準同型を介して構成され、モジュライスタック間の写像を誘導する。
• この構成は古典的なメーハ・セーシャドリの結果を一般化する：$G = GL(n)$ のとき、パラホリック torsor のモジュライ空間はパラボリックベクトルバンドルのモジュライ空間を回復する。
• 表現の空間 $R^{\boldsymbol{\tau}}(\pi, K_G)$ は、位相的にモジュライ空間をパラメトライズし、この同定はすべての半単純単連結 $G$ に対して成り立つ。