[論文レビュー] Moduli of polarised manifolds via canonical Kähler metrics

Ruadhaí Dervan, Philipp Naumann|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、従来のGIT安定性を避けて、解析的手法を用いて、定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量を許容する極小化多様体のハウスドルフ的モジュライ空間を構成する。cscK計量を解析的安定性条件として用い、クルンシ空間上のヘインツナー＝ルースGIT商理論を応用することで、自然にウェイリ＝ピーターソン型ケーラー計量を備えた、うまく整ったモジュライ空間を確立する。これは、連続的自己同型をもつ多様体におけるモジュライ理論の主要な問題を解決する。

ABSTRACT

We construct a moduli space of polarised manifolds which admit a constant scalar curvature Kähler metric. We show that this space admits a natural Kähler metric.

研究の動機と目的

• 連続的自己同型をもつ場合に、GIT手法が失敗する状況を除き、定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量を許容する極小化多様体の、うまく整ったモジュライ空間を構築すること。
• cscK計量の存在を安定性条件として用いる解析的代替案を提示し、K安定性およびGITによるモジュライ構成の代替を提供すること。
• モジュライ空間のハウスドルフ性および分離性を確立し、それが強い解析的ヴァリュエイティブ基準の類似を満たしていることを証明すること。
• モジュライ空間に自然なウェイリ＝ピーターソン型ケーラー計量が存在することを示し、豊かな幾何的構造を備えること。
• Hodge計量とグラウエルトの埋め込み定理を用いて、モジュライ空間の任意のコンパクト複素部分空間が射影的であることを示すこと。

提案手法

• 固定されたcscK多様体の局所変形をパrametrizeするためのクルンシ空間の使用により、局所的モジュライ構成を可能にする。
• ブロニェル＝シュエケリーヒディの変形論を応用し、cscK計量と変形空間上の局所GIT条件を関連付ける。
• 複素空間に対するヘインツナー＝ルースGIT商理論を用いて、クルンシ空間の商として局所的モジュライ空間を構成する。
• cscK計量の自己同型による一意性および伊藤の自己同型群に関する結果を活用し、安定化部分群と軌道を分析する。
• チェン＝ソンのcscK退化の一意性に関する研究を応用し、局所的モジュライ空間を貼り合わせることで、グローバルなハウスドルフ性を保証する。
• ファイバー積分と相対マブーチ計量関数を用い、デリーニペアリングとCMラインバンドル計量を介して、モジュライ空間上にウェイリ＝ピーターソン型ケーラー計量を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型群が連続的である場合に、cscK計量を許容する極小化多様体のモジュライ空間を、GITが失敗する状況を乗り越えて構成できるか？
• RQ2 cscK計量の存在が、分離性のための強い解析的ヴァリュエイティブ基準の類似を満たすか？
• RQ3 cscK極小化多様体のモジュライ空間に自然なケーラー計量を一意的に定義できるか？
• RQ4 Hodge計量が存在するならば、モジュライ空間の任意のコンパクト複素部分空間が射影的であるか？
• RQ5 局所的商の貼り合わせによって、グローバルにモジュライ空間を構成する方法は何か？また、cscK退化の一意性はその構成においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• cscK計量を許容する極小化多様体のモジュライ空間としての、ハウスドルフ的複素空間が存在し、その点はそれら多様体の同型類に一対一に対応する。
• モジュライ空間は、強い解析的ヴァリュエイティブ基準の類似を満たす：2つの族が一点を除いて一致し、中心ファイバーが解析的に半安定であれば、それらは同じcscK多様体に退化する必要がある。
• モジュライ空間には自然なウェイリ＝ピーターソン型ケーラー計量ηが存在し、CMラインバンドルとデリーニペアリングを用いて構成される。ηはモジュライ空間上の正の(1,1)-現在である。
• ウェイリ＝ピーターソン計量はグローバルに正しく定義されており、ストラトにわたって連続的である。cscKファイバー上で相対マブーチ計量関数が消えるため、ηのポテンシャルは重なり部分で一致する。
• モジュライ空間の任意のコンパクト複素部分空間は、その制限がHodge計量であるため、グラウエルトの埋め込み定理が適用され、射影的である。
• 本構成により、分離的かつケーラー的であるモジュライ空間が得られ、cscK極小化多様体のモジュライ問題が解析的設定において解決される。