[論文レビュー] Moduli of Prym curves

Edoardo Ballico, Cinzia Casagrande+1 more|ArXiv.org|Apr 15, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、Prym曲線（ genus $g$ の曲線に分岐のない2重被覆を備えたもの）のモジュライ空間の代替的コンpakto化を提示する。Cornalbaのスピン曲線のモジュライ空間に類似した構成を用いる。正成分 $\overline{\mathrm{Pr}}_g^+$ とBeauvilleのコンパクト化Prymモジュライ空間 $\overline{R}_g$ の明示的同型写像を確立し、各安定曲線のファイバーの双対グラフによる組合せ的記述を提供する。これにより、スピン曲線の場合とは異なった分岐性質が明らかになる。

ABSTRACT

Here we focus on the compactification of the moduli space of curves of genus g together with an unramified double cover, constructed by Arnaud Beauville in order to compactify the Prym mapping. We present an alternative description of it, inspired by the moduli space of spin curves of Maurizio Cornalba, and we discuss in detail its main features, both from a geometrical and a combinatorial point of view.

研究の動機と目的

• コンパクト化されたPrym曲線モジュライ空間 $\overline{R}_g$ の、幾何的かつ組合せ論的根拠に基づく新しい記述を提供すること。
• 正成分 $\overline{\mathrm{Pr}}_g^+$ とBeauvilleの $\overline{R}_g$ の間の明示的同型写像を $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上で確立すること。
• 安定曲線の双対グラフを用いて、モジュライ空間 $\overline{\mathrm{Pr}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g$ の分岐性を分析すること。
• $\overline{\mathrm{Pr}}_g$ とスピン曲線のモジュライ空間 $\overline{S}_g$ のファイバーの組合せ構造を比較すること。

提案手法

• Prym曲線を、 genus $g$ の準安定曲線 $X$ に、次数 0 で例外的成分上で次数 1 の線分束 $\eta$ と、非退化な準同型写像 $\beta: \eta^{\tens 2} \to \mathcal{O}_X$ を備えたものとして定義する。
• $\overline{\mathrm{Pr}}_g$ をPrym曲線の同型類をパラメトライズする射影的代数的多様体として構成する。この多様体は2つの既約成分からなる：$\overline{\mathrm{Pr}}_g^-$ は $\overline{\mathcal{M}}_g$ に同型であり、$\overline{\mathrm{Pr}}_g^+$ は $\overline{R}_g$ に同型である。
• 安定曲線 $Z$ の双対グラフ $\Gamma_Z$ を用いて、$[Z] \in \overline{\mathcal{M}}_g$ 上のスキーム的ファイバー $\mathrm{Pr}_Z$ を記述する。
• 双対グラフ $\Gamma_Z$ の部分グラフにインデックス付けられた2の累乗からなる多重度集合 $L(\mathrm{Pr}_Z)$ を定義する。ここで多重度は部分グラフの1次ベッチ数に依存する。
• Caporasoのコンパクト化された普遍ピックの多様体の結果を応用し、$\overline{\mathrm{Pr}}_g$ をより大きなモジュライ空間に埋め込む。
• 双対グラフ $\Gamma_Z$ の組合せ的不変量を用いて分岐性とファイバー構造を分析し、$\overline{\mathrm{Pr}}_g$ と $\overline{S}_g$ の相違を明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cornalbaのスピン曲線モジュライ空間に類似した構成を用いて、Prym曲線のモジュライ空間 $\overline{R}_g$ をどのように再解釈できるか。
• RQ2 正成分 $\overline{\mathrm{Pr}}_g^+$ とBeauvilleの $\overline{R}_g$ の間の正確な関係は何か。
• RQ3 モジュライ空間 $\overline{\mathrm{Pr}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g$ の分岐性は、安定曲線の双対グラフにどのように依存するか。
• RQ4 $\overline{\mathrm{Pr}}_g$ のファイバー構造は、$\overline{S}_g$ のそれとどのように組合せ論的に異なっているか。
• RQ5 多重度集合 $L(\mathrm{Pr}_Z)$ は、安定曲線 $Z$ の幾何的性質を特定できるか。

主な発見

• 正成分 $\overline{\mathrm{Pr}}_g^+$ は、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 上でBeauvilleの $\overline{R}_g$ に同型であり、$\overline{R}_g$ の新たな幾何的解釈を提供する。
• 安定曲線 $Z$ 上のファイバー $\mathrm{Pr}_Z$ の多重度 $L(\mathrm{Pr}_Z)$ はすべて2の累乗であり、最大で $2^{b_1(\Gamma_Z)}$ に達する。
• 写像 $\overline{\mathrm{Pr}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g$ は、有理成分をもたない曲線の集合 $\overline{\mathcal{M}}_g^0 \setminus D_{\text{irr}}$ 上でエタールである。
• 一般にはファイバー $\mathrm{Pr}_Z$ と $S_Z$（スピン曲線のためのもの）は同型でなく、$L(\mathrm{Pr}_Z)$ に1が含まれるが $L(S_Z)$ には含まれない場合がある。
• 曲線 $Z$ がすべて滑らかで、各成分に4つ以上の偶数個のノードを持つ場合、$L(\mathrm{Pr}_Z)$ は $Z$ が2つまたは3つの滑らか成分の和集合であるかどうかを特定できる。
• 特定の双対グラフ $\Gamma_Z$ に対して、$L(\mathrm{Pr}_Z)$ は、$L(S_Z)$ がその区別に失敗する場合でも、異なる位相的型の曲線を区別できる。