[論文レビュー] Moduli of rational curves in toric varieties and non-Archimedean geometry

Dhruv Ranganathan|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2015

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、トーリック多様体への滑らかで対数的安定写像の空間のバーキョフスキー骨格とトロピカル写像の空間との間の標準的同一視を確立し、トーリック境界への所定の接触順序を持つ有理曲線のトロピカル的コンパクト化を可能にする。さらに、トーリック退化を用いないトロピカル幾何学を用いて、西野＝瀬郷対応定理の新たな直接的証明を提供する。

ABSTRACT

We study the geometry of the Berkovich skeleton of the space of genus 0 logarithmic stable maps to a toric variety and give a canonical identification of this skeleton with a space of tropical maps. This result has two main applications. First, we use tropical geometry to give a compactification of the space of rational curves in a toric variety with prescribed contact order with the toric boundary. This compactification is then identified with the space of logarithmic stable maps. Second, we use these results to give a simple proof of the Nishinou--Siebert correspondence theorem for tropical curve counts without using toric degenerations. These results generalize work of Cavalieri, Markwig, and the author (arXiv:1410.2837) for target P^1 to arbitrary toric targets.

研究の動機と目的

• トーリック多様体における対数的安定写像のバーキョフスキー骨格とトロピカル写像の空間との間の標準的同一視を確立すること。
• トロピカル幾何学を用いて、所定の接触順序を持つ有理曲線の空間をトーリック境界に沿ってコンパクト化すること。
• トーリック退化に依存しない、西野＝瀬郷対応定理の新たな直接的証明を提供すること。
• P^1 に関する先行結果を任意のトーリック標的へ一般化すること。

提案手法

• 非アーケイメデス幾何学的性質を分析するため、対数的安定写像のモジュライ空間のバーキョフスキー骨格を用いる。
• バーキョフスキー骨格とトロピカル写像の空間との間の標準的同一視を構成する。
• トロピカル幾何学を応用して、所定の接触順序を持つ有理曲線の空間のコンパクト化を実現する。
• 非アーケイメデス解析的手法を用いて、対数的およびトロピカルモジュライ空間を関連付ける。
• トーリック多様体の構造を活用して、P^1 からの結果を一般トーリック標的へ拡張する。
• 骨格の同一視を用いて、西野＝瀬郷対応定理の証明においてトーリック退化を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体への滑らかで対数的安定写像のモジュライ空間のバーキョフスキー骨格は、どのようにトロピカル幾何学の観点から記述できるか？
• RQ2 所定の接触順序を持つ有理曲線のコンパクト化と、トーリック多様体におけるトロピカル写像との関係は何か？
• RQ3 西野＝瀬郷対応定理は、トーリック退化を用いずに、トロピカル幾何学によって直接証明可能か？
• RQ4 バーキョフスキー骨格とトロピカル写像との同一視は、P^1 からの先行結果を任意のトーリック標的へどのように一般化するか？

主な発見

• トーリック多様体への滑らかで対数的安定写像のモジュライ空間のバーキョフスキー骨格は、トロピカル写像の空間と標準的に同型である。
• 所定の接触順序を持つ有理曲線の空間のトロピカル的コンパクト化が構成され、これは対数的安定写像の空間と同一視される。
• 西野＝瀬郷対応定理は、トーリック退化を一切用いずに、トロピカル幾何学および非アーケイメデス幾何学のみを用いて、一般に証明された。
• P^1 に関する先行研究が任意のトーリック多様体へ拡張され、この文脈におけるトロピカル曲線の数え上げの一般枠組みが確立された。