[論文レビュー] Moduli of vector-bundles on surfaces

Kieran G. O’Grady|ArXiv.org|Sep 20, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、滑らかな複素射影的表面におけるH-半安定な縁なし層のモジュライ空間が、判別式Δがランクに依存する閾値Δ(r)を超えるとき、期待される次元を持ち、非特異的（reduced）である条件を確立する。さらに、大きなΔに対して、安定バンドルをパラメトライズする開部分空間が稠密であり、モジュライ空間が非可約であることも示す。これらの結果は任意のランクに拡張可能であり、ドナルドソン理論にインspiredされた代数幾何的技法（変形理論、モジュライ空間上の正則2形式など）に依拠している。

ABSTRACT

This is a survey paper: we discuss certain recent results, with some improvements. It will appear in the S. Cruz proceedings.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素射影的表面Sとアンピールな除数Hに対して、固定されたランクr、決定的線束det(ξ)、c₂(ξ)を持つH-半安定な縁なし層のモジュライ空間$ \mathcal{M}_\xi $が、判別式Δ_ξ > Δ(r)のとき、期待される次元を持ち、非特異的（reduced）であることを証明すること。
• Δ_ξが非常に大きいとき、スロープ安定なベクトルバンドルをパラメトライズする開部分空間が$ \mathcal{M}_\xi $において稠密であり、$ \mathcal{M}_\xi $が非可約であることを示すこと。
• 曲線上のベクトルバンドルに関する予想を仮定することで、正則2形式およびモジュライ空間のコイダラ次元に関する結果を任意のランクに拡張すること。
• 一般型の曲面上のモジュライ空間を理解するための枠組みを提供すること。ここでは、これまでほとんど知られていなかった。
• ランク、第一チャーン類、オイラー標数の最大公約数に関する条件を用いて、モジュライ空間がファインモジュライ空間である条件を確立すること。

提案手法

• 変形理論を用いて、エクスト複体のオイラー特性$ \chi(\text{End}(F)) = 2r c_2 - (r-1)c_1^2 - (r^2-1)\chi(\mathcal{O}_S) + h^1(\mathcal{O}_S) $により、モジュライ空間の期待される次元を計算する。
• ギーゼッカー＝マリヤマの半安定層理論を適用し、ジョルダン＝ホルダー層の列とS同値関係を用いて、射影的モジュライ空間を構成する。
• ねじれた自己準同型とコhomオロジー的技法を用いて、モジュライ空間の接空間および障害理論を分析する。
• ムカイの構成を活用し、S上の正則2形式ωをモジュライ空間上の2形式ω_ξへと持ち上げ、その非退化性を分析する。
• J. Liの結果を用い、一般型の曲面に対して、ランクおよびチャーン類の条件を満たすとき、モジュライ空間のコイダラ次元を評価する。
• 任意のランクおよび特別な次数に対して、曲線上のベクトルバンドルに関する鍵となる予想（予想2.4）を検証し（命題2.5）、高ランクへの結果の拡張を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな複素射影的曲面上のH-半安定な縁なし層のモジュライ空間が、非特異的かつ期待される次元を持つための条件は何か？
• RQ2 判別式Δが非常に大きいとき、モジュライ空間はどのように振る舞うのか。特に、安定バンドルの稠密性および非可約性に関しては？
• RQ3 モジュライ空間上の正則2形式ω_ξが非退化であるのはいつか？ そして、これはモジュライ空間の幾何にどのような意味を持つのか？
• RQ4 表面Sが一般型でランクが2のとき、モジュライ空間のコイダラ次元は何か？
• RQ5 正則2形式およびコイダラ次元に関する結果を、曲線上のベクトルバンドルに関する予想を仮定することで、任意のランクにどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 任意の滑らかな複素射影的曲面Sとアンピールな除数Hに対して、固定されたランクr、決定的線束det(ξ)、c₂(ξ)を持つH-半安定な縁なし層のモジュライ空間$ \mathcal{M}_\xi $は、Δ_ξ > Δ(r)のとき、期待される次元を持ち、非特異的（reduced）である。
• Δ_ξ ≫ 0のとき、スロープ安定なベクトルバンドルをパラメトライズする開部分空間は$ \mathcal{M}_\xi $において稠密であり、$ \mathcal{M}_\xi $は非可約である。
• S上の正則2形式ωから誘導されるモジュライ空間上の正則2形式ω_ξは、r=2であり、追加の仮定が成り立つとき、一般点において非退化である。
• モジュライ空間$ \mathcal{M}_\xi $からCH_0(S)への写像（各層をそのc₂類へ送る）の像の次元は、$ \mathcal{M}_\xi $自身の次元に等しい。これはω_ξの非退化性に起因する。
• Sが一般型でr=2、かつ適切な条件を満たすとき、モジュライ空間$ \mathcal{M}_\xi $は一般型である。これはJ. Liによって示された。
• ω_ξの非退化性およびコイダラ次元に関する結果は、予想2.4を仮定することで任意のランクに拡張可能であり、命題2.5で任意のランクおよび特別な次数についてこの予想が検証されている。