[論文レビュー] Moduli spaces for families of rational maps on P^1

Michelle Manes|ArXiv.org|Feb 11, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\ mathbb{P}^1$ 上の $d$ 次の有理写像の $\mathrm{PGL}_2$-同型類で、形式的周期 $N$ の点をもつものをパラメトライズするモジュライ空間 $M_d(N)$ を構成する。$N > 1$ のとき $M_2(N)$ が幾何的に既約であることを、明示的な標準形とダイナトニック多項式の既約性を用いて証明するが、非自明な $\mathrm{PGL}_2$-自己同型をもつ写像に対しては、無限に多くの $N$ に対して $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$ が可約であることを示し、自己同型作用の下での軌道構造を通じて幾何的な説明を与える。

ABSTRACT

Let phi: P^1 --> P^1 be a rational map defined over a field K. We construct the moduli space M_d(N) parameterizing conjugacy classes of degree-d maps with a point of formal period N and present an algebraic proof that M_2(N) is geometrically irreducible for N>1. Restricting ourselves to maps phi of arbitrary degree d >= 2 such that the composition h^{-1} phi h = phi for some nontrivial h in PGL_2, we show that the moduli space parameterizing these maps with a point of formal period N is geometrically reducible for infinitely many N.

研究の動機と目的

• $\mathrm{PGL}_2$-同型類で、形式的周期 $N$ の点をもつ $d$ 次有理写像をパラメトライズするモジュライ空間 $M_d(N)$ を構成し、研究すること。
• 明示的な標準形とダイナトニック多項式の既約性を用いて、すべての $N > 1$ に対して $M_2(N)$ が幾何的に既約であることを証明すること。
• 非自明な自己同型をもつ写像のモジュライ空間、特に $M_d(N,\mathfrak{C}_p)$ の幾何的構造を調査し、それがいつ可約になるかを特定すること。
• 自己同型不変族におけるダイナトニック多項式の可約性を、自己同型作用の下での軌道構造と結びつけて、幾何的な説明を与えること。

提案手法

• 代数幾何と不変式論を用いて、形式的周期 $N$ の点をもつ $d$ 次有理写像の $\mathrm{PGL}_2$-同型類をパラメトライズするモジュライ空間 $M_d(N)$ を構成する。
• 二次有理写像 $\psi(z) = \frac{z^2 + az}{az + 1}$ の標準形を用いて $M_2$ を明示的に記述し、反復と多項式パラメトライズ化を可能にする。
• Morton の結果（$f_c(z) = z^2 + c$ のダイナトニック多項式の既約性）に依拠して、$M_2(N)$ が既約であることを、それへの被覆面がすべて既約であることを示すことによって証明する。
• 自己同型 $h \in \mathrm{PGL}_2(\overline{K})$ が周期的点に作用する様子を分析し、点の形式的周期 $N$ の軌道を $h$ が保存するか交換するかに応じて場合分けを行う。
• $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$ の最大次元の真の閉部分多様体を構成して可約性を証明し、自己同型作用の下での軌道の振る舞いに応じてモジュライ空間が成分に分解することを示す。
• 特殊化の議論とダイナトニック多項式の性質を用いて、特性 0 の体 $K$ に対してはすべての $N$ で除く有限個の $N$ に対して、一般の体ではすべての $N$ で除く有限個の素数 $N$ に対して $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$ が可約であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $M_2(N)$ はすべての $N > 1$ に対して幾何的に既約か？
• RQ2 素数 $p$ の位数をもつ非自明な自己同型をもつ写像に対して、$M_d(N,\mathfrak{C}_p)$ の幾何的構造はいかなるものか？
• RQ3 $N$ が偶数のとき、非自明な自己同型をもつ写像ではなぜダイナトニック多項式が可約になるのか？ これは対応するモジュライ空間の幾何にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$ の可約性は、自己同型が周期的軌道に作用する様子を通じて幾何的に説明可能か？
• RQ5 自己同型の存在は、動的モジュラー曲線における一般の既約性の失敗を体系的に引き起こすか？

主な発見

• すべての $N > 1$ に対して $M_2(N)$ が幾何的に既約であることが、明示的な標準形と $f_c(z) = z^2 + c$ のダイナトニック多項式の既約性に基づいて確立された。
• 特性 0 の体 $K$ に対して、非自明な $\mathrm{PGL}_2$-自己同型をもつ写像について、すべての $N$ で除く有限個の整数 $N$ に対して $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$ は幾何的に可約である。
• 可約性は自己同型の作用に起因する：$h$ の位数が $N$ を割るとき、$h$ は形式的周期 $N$ の点の軌道を保存するか、あるいは交換する。その結果、モジュライ空間には少なくとも二つの既約成分が存在する。
• この構成により、$M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$ に最大次元の真の閉部分多様体が構成され、特殊な場合に依存せずに可約性が証明された。
• 従来の研究とは対照的に、可約性が1つの写像ごとに発生するのではなく、すべての $d \geq 2$ の次数において、無限に多くの $N$ に対して、一様な写像族全体で可約性が成立する。
• $2^N - 1$ が素数であるような $N$ に対しては、$M_2(N,\mathfrak{C}_2)$ は既約である。これはダイナトニック多項式を特殊化し、$\phi(z) = z^2$ に対して $\Phi_N^*(z)$ の既約性を用いて示された。