[論文レビュー] Moduli Spaces of Abelian Vortices on Kahler Manifolds

Jorge Baptista|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpakto Kähler多様体上のアーベル型ゲージ線形モデル（GLSM）に対して、Hitchin-Kobayashi対応を確立し、基底多様体が単連結またはアーベル多様体である場合、バーチャル解のモジュライ空間をトーリックオーロリフとして明示的に記述する。$L^2$-計量のケーラー類、体積、全スカラー曲率を計算し、ホロモルフィック写像のコンパクト化として解釈することで、$ℓ^m \to \mathbb{CP}^n$ のような写像空間の体積に関する予想に至る。結果は、既知の2次元バーチャル解モジュライを高次元に一般化し、明示的な幾何学的・位相的記述を提供する。

ABSTRACT

We consider the self-dual vortex equations on a positive line bundle L --> M over a compact Kaehler manifold of arbitrary dimension. When M is simply connected, the moduli space of vortex solutions is a projective space. When M is an abelian variety, the moduli space is the projectivization of the Fourier-Mukai transform of L. We extend this description of the moduli space to the abelian GLSM, i.e. to vortex equations with a torus gauge group acting linearly on a complex vector space. After establishing the Hitchin-Kobayashi correspondence appropriate for the general abelian GLSM, we give explicit descriptions of the vortex moduli space in the case where the manifold M is simply connected or is an abelian variety. In these examples we compute the Kaehler class of the natural L^2-metric on the moduli space. In the simplest cases we compute the volume and total scalar curvature of the muduli space. Finally, we note that for abelian GLSM the vortex moduli space is a compactification of the space of holomorphic maps from M to toric targets, just as in the usual case of M being a Riemann surface. This leads to various natural conjectures, for instance explicit formulae for the volume of the space of maps CP^m --> CP^n.

研究の動機と目的

• 高次元のKähler多様体上のアーベル型GLSMにHitchin-Kobayashi対応を拡張すること。
• 基底多様体が単連結またはアーベル多様体である場合、バーチャル解のモジュライ空間の明示的幾何的記述を提供すること。
• $L^2$-計量のケーラー類、体積、全スカラー曲率をモジュライ空間上で計算すること。
• モジュライ空間をトーリック多様体へのホロモルフィック写像のコンパクト化として特定することにより、2次元の場合の一般化を図ること。
• 例えば $\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$ のようなホロモルフィック写像空間の体積に関する予想を提示すること。

提案手法

• 安定性条件とモーメント写像の技法を用いて、アーベル型GLSMに対する一般化されたHitchin-Kobayashi対応を確立する。
• フーリエ＝ムカイ変換を用いて、モジュライ空間を双対アーベル多様体上の双対ラインバンドルの射影化として記述する。
• $L^2$-計量形式論を適用し、曲率形式およびチャーン類の積分を用いて、モジュライ空間上のケーラー類を計算する。
• トーリック幾何と錐の分解を用いて、モジュライ空間をトーリックオーロリフとして構造的に分析する。
• ユニバーサルバンドルとホロモルフィック切断理論を用いて、バーチャル解とトーリック目標へのホロモルフィック写像との関係を確立する。
• 錐幾何および係数の正定性に関する補助的補題を活用し、モジュライ空間構成における安定性および内部性条件を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元の単連結Kähler多様体上におけるアーベル型バーチャル解のモジュライ空間の明示的幾何的構造は何か？
• RQ2 アーベル多様体上におけるアーベル型GLSMバーチャル解のモジュライ空間は、元のラインバンドルのフーリエ＝ムカイ変換とどのように関係するか？
• RQ3 単連結多様体およびアーベル多様体の場合に、モジュライ空間上の$L^2$-計量のケーラー類は何か？
• RQ4 モジュライ空間は、どのようにしてトーリック多様体へのホロモルフィック写像空間のコンパクト化として解釈できるか？
• RQ5 ホロモルフィック写像空間 $\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$ の体積について、明示的な公式を予想できるか？

主な発見

• 基底多様体 $M$ が単連結の場合、バーチャル解のモジュライ空間 $\mathcal{M}$ は複素射影空間である。
• 基底多様体 $M$ がアーベル多様体の場合、$\mathcal{M}$ は双対多様体 $\hat{M}$ 上のフーリエ＝ムカイ変換 $\hat{L} \to \hat{M}$ の射影化である。
• $L^2$-計量のケーラー類は、曲率形式およびチャーン類の積分を用いて明示的に計算される。
• 最も単純な場合において、$L^2$-計量構造を用いて、$\mathcal{M}$ の体積および全スカラー曲率が計算される。
• モジュライ空間 $\mathcal{M}$ は、$M$ からトーリック目標へのホロモルフィック写像空間のコンパクト化として解釈され、2次元の場合の一般化を果たす。
• 本稿は、$L^2$-計量幾何に基づき、例えば $\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$ のようなホロモルフィック写像空間の体積に関する予想を提示する。