[論文レビュー] Moduli spaces of bundles over Riemann surfaces and the Yang-Mills stratification revisited

Frances Kirwan|ArXiv.org|May 24, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、リーマン面上の接続の空間のヤン・ミルズ層化を、最大および最小のジョルダン・ホルダー層化、および最大自明性のバランスの取れたδ層化という3つの新しい層化によって精緻化する。それぞれが、有限余次元の局所的閉じた複素部分多様体としての接続の空間の層化を与える。主な貢献は、ランクと次数が互いに素でランクが2より大きい場合、安定バンドルのモジュライ空間のコホモロジー関係を理解するための枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Refinements of the Yang-Mills stratifications of spaces of connections over a compact Riemann surface are investigated. The motivation for this study was the search for a complete set of relations between the standard generators for the cohomology of the moduli spaces of stable holomorphic bundles of rank n and degree d when n and d are coprime and n>2.

研究の動機と目的

• n > 2 かつ gcd(n,d) = 1 のとき、M(n,d) の標準的コホモロジー生成子の間に完全な関係式が存在しないという問題を解決すること。
• ムムフォードの予想が証明された n=2 の場合を越えて、コホモロジー関係の理解を拡張すること。
• ジョルダン・ホルダー層化およびδ層化を用いて、接続の空間の精緻化された層化を構築し、半安定および安定バンドルの構造をモデル化すること。
• これらの精緻化層化を、ハーラー＝ナラシマン層化およびヤン＝ミルズ汎関数と、モーメント写像理論を用いて関連付けること。
• モース理論的および幾何的不変量理論的手法を用いて、M(n,d) のコホモロジールーピング構造を調査するための幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• ヤン＝ミルズ汎関数をモーメント写像のノルムの二乗とみなして、接続の空間 C(n,d) 上にモース層化を定義する。
• キルワン（1985）の精緻化法をヤン＝ミルズ層化に適用し、安定バンドルが開き層化となる新しい層化を生成する。
• ハーラー＝ナラシマン層化の2つの標準的精緻化を導入する：最大および最小のジョルダン・ホルダー層化。
• ハーラー＝ナラシマン層化の商部分を用いて構成される、最大自明性のバランスの取れたδ層化を、第3の精緻化として定義する。
• ヤン＝ミルズ層化の帰納的構成に現れる部分多様体に層化を適用し、射影化された正規バンドルを用いる。
• 層化のインデックス集合を用いて、層化の構造とその余次元を分析し、特に M(n,d) のコホモロジーとの関係を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続の空間のヤン＝ミルズ層化は、どのようにして安定バンドルのモジュライ空間のコホモロジーをよりよく理解するための精緻化が可能か？
• RQ2 半安定バンドルの最大および最小のジョルダン・ホルダー層化の幾何学的および代数的性質は何か？
• RQ3 最大自明性のバランスの取れたδ層化は、ハーラー＝ナラシマン層化およびジョルダン・ホルダー層化とどのように関係するか？
• RQ4 これらの精緻化層化を用いて、n > 2 の場合に M(n,d) の標準的コホモロジー生成子の間に完全な関係式を構成できるか？
• RQ5 最大JH、最小JH、バランスの取れたδ層化という3つの精緻化の間にはどのような関係があり、構造的にどのように異なるか？

主な発見

• ハーラー＝ナラシマン層化の3つの異なる精緻化が構成された：最大ジョルダン・ホルダー層化、最小ジョルダン・ホルダー層化、最大自明性のバランスの取れたδ層化。
• 各精緻化は、接続の空間 C(n,d) を、有限余次元の局所的閉じた複素部分多様体としての層化を誘導し、その開き層化として安定接続が与えられる。
• 半安定バンドルの直和における最大および最小のジョルダン・ホルダー層化は、一般に互いに精緻化ではない。両端での拡張則が異なる。
• 最大自明性のバランスの取れたδ層化は、同じスロープを持つ商部分を保存する真の精緻化を持たないものとして示され、ある誤差項εを最小化することによって特徴づけられる。
• 3つの層化はピボット層化の概念を通じて関連づけられ、それらの相互作用は定理7.11および命題7.4、7.6、7.8で形式化されている。
• 精緻化された層化は、n > 2 の場合に標準的なムムフォードの関係式の一般化が失敗するため、M(n,d) におけるコホモロジー関係を研究するための幾何的枠組みを提供する。