[論文レビュー] Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory

V. V. Fock, A. B. Goncharov|ArXiv.org|Nov 10, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、中心が自明な分解型半単純実リー群 $G$ に対する表面の基本群の正の表現を導入し、明示的で、忠実で、離散的で、正の双曲的表現を構成する。2つの双対的高次テイヒミュラー空間 ${\cal X}^+_{G,S}$ と ${\cal A}^+_{G,S}$ を構築し、写像類群に関して不変な正のアトラスを備え、その遷移関数は減算なしのものであり、任意の正の半体上で実現可能であり、実点およびトロピカル点は古典的およびラミネートされたテイヒミュラー構造を回復する。

ABSTRACT

Let G be a split semisimple algebraic group with trivial center. Let S be a compact oriented surface, with or without boundary. We define {\it positive} representations of the fundamental group of S to G(R), construct explicitly all positive representations, and prove that they are faithful, discrete, and positive hyperbolic; the moduli space of positive representations is a topologically trivial open domain in the space of all representations. When S have holes, we defined two moduli spaces closely related to the moduli spaces of G-local systems on S. We show that they carry a lot of interesting structures. In particular we define a distinguished collection of coordinate systems, equivariant under the action of the mapping class group of S. We prove that their transition functions are subtraction free. Thus we have positive structures on these moduli spaces. Therefore we can take their points with values in any positive semifield. Their positive real points provide the two higher Teichmuller spaces related to G and S, while the points with values in the tropical semifields provide the lamination spaces. We define the motivic avatar of the Weil-Petersson form for one of these spaces. It is related to the motivic dilogarithm.

研究の動機と目的

• コンパクトな向き付け可能曲面 $S$ の基本群に対する、中心が自明な分解型半単純実リー群 $G$ に対し、$G(\mathbf{R})$ への正の表現を定義し、構成すること。
• このような正の表現のモジュライ空間 ${\cal L}^+_{G,S}$ が、次元 $-\chi(S)\cdot\dim G$ の位相的に自明な領域であることを示すこと。
• ${\cal X}^+_{G,S}$ と ${\cal A}^+_{G,S}$ という2つの双対的モジュライ空間を定義し、$G = PGL_2$ の場合に古典的テイヒミュラー空間を一般化し、写像類群に関して不変な正の構造を備えること。
• これらのモジュライ空間上の座標チャート間の遷移関数が減算なしの有理関数であることを確立し、任意の正の半体上での点の定義を可能にすること。
• ${\cal X}_{G,S}$ 上に、モチーフ的ディログラミット関数と関係するウェイル・ピーターソン形式のモチーフ的アバターを構成し、${\cal X}$ と ${\cal A}$ 空間の間のラングランズ双対性を予想すること。

提案手法

• 半単純リー群における完全正の性質を用い、$G$ に関連する旗多様体内の正の旗配置を用いて、正の表現を定義する。
• ${\cal X}^+_{G,S}$ と ${\cal A}^+_{G,S}$ のモジュライ空間上に、$S$ の写像類群の作用に関して等変な明示的座標系を構成する。
• これらの座標系間の遷移関数が減算なしの有理関数であることを証明し、モジュライ空間上に正の構造を確立する。
• $g_\bullet$ の写像を用いて、旗配置をグラスマンィアン複体の元に関連付け、$K_2$-類と関係付ける複体の準同型を定義する。
• ${\cal A}_{G,S}$ 上に、その関数体の $K_2$-群の類から生じる退化した2次形式 $\Omega$ を定義し、それをモチーフ的ディログラミット関数と関係付ける。
• ${\cal X}^+_{G,S} \to {\cal L}^+_{G,S}$ なる標準的射影 $\pi^+$ と、$s: {\cal L}^+_{G,S} \hookrightarrow {\cal X}^+_{G,S}$ なるスプリングを構成し、$\pi^+$ が $|W|^n$ 乗の分岐被覆であることを示す。ここで $W$ は $G$ のウェイル群である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心が自明な分解型半単純実リー群 $G$ に対して、$\pi_1(S)$ から $G(\mathbf{R})$ への正の表現をどのように定義し、構成できるか。
• RQ2 ${\cal L}^+_{G,S}$ という正の表現のモジュライ空間の幾何学的および位相的性質は何か。
• RQ3 双対的モジュライ空間 ${\cal X}^+_{G,S}$ と ${\cal A}^+_{G,S}$ は、古典的テイヒミュラー空間をどのように一般化し、どのような構造を備えているか。
• RQ4 写像類群は、これらのモジュライ空間の幾何にどのように作用し、座標系はその作用に関してどのように変化するか。
• RQ5 ${\cal X}$ と ${\cal A}$ 空間の間の双対性を確立できるか。また、それはラングランズ双対性と関係があるか。

主な発見

• ${\cal L}^+_{G,S}$ における正の表現のモジュライ空間は、次元 $-\chi(S)\cdot\dim G$ の位相的に自明な開領域であり、すべての正の表現は忠実で、離散的であり、境界でない共轭類を正の双曲的要素へ写像する。
• $G = PGL_2$ の場合、${\cal L}^+_{G,S}$ は $S$ の古典的テイヒミュラー空間を回復する。
• 双対的空間 ${\cal X}^+_{G,S}$ と ${\cal A}^+_{G,S}$ は、有理型多様体であり、写像類群に関して等変な正のアトラスを備え、その遷移関数は減算なしの有理関数である。
• ${\cal X}^+_{G,S}$ と ${\cal A}^+_{G,S}$ の実点は、$G$ と $S$ に対する高次テイヒミュラー空間を、トロピカル点は双対ラミネート空間を提供し、$G = PGL_2$ の場合にサーストンのラミネートを一般化する。
• ${\cal X}_{G,S}$ には標準的なポアソン構造が、${\cal A}_{G,S}$ にはその関数体の $K_2$-群の類から生じる退化した2次形式 $\Omega$ が備わる。
• ${\cal X}_{G,S}$ 上に、モチーフ的ディログラミット関数と関係するウェイル・ピーターソン形式のモチーフ的アバターを構成し、本稿では ${\cal X}$ と ${\cal A}$ 空間の間のラングランズ双対性を予想する。さらに、一方の空間の関数環における標準的基底は、他方の空間の整数的トロピカル点によってパrameter化される。