[論文レビュー] Moduli spaces of rank two aCM bundles on the Segre product of three projective lines

Gianfranco Casnati, Daniele Faenzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ に埋め込まれたセグレ3次元多様体 $F = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \subset \mathbb{P}^7$ 上のランク2の算術的コhen＝マカウル（aCM）バンドルのモジュライ空間を研究する。四次曲面 $Q \subset F$ の幾何と $Q$ 上の安定バンドルへの制限を用いて、$Q$ 上の $\mu$-安定ランク2バンドルのモジュライ空間から $F$ 上のモジュライ空間の成分への有理写像を構成し、このモジュライ空間の有理型を証明するとともに、$\mathbb{P}^3$ 上のインスタントンから生じない新しいウルリッヒバンドルの例を構成する。主な結果は、特定のチャーン類の選択に対してモジュライ空間の有理型であることである。

ABSTRACT

Let P^n be the projective space of dimension n on an algebraically closed field of characteristic 0 and F be the image of the Segre embedding of P^1xP^1xP^1 inside P^7. In the present paper we deal with the moduli spaces of locally free sheaves E on F of rank 2 with h^i(F,E(t))=0 for i=1,2 and each integer t.

研究の動機と目的

• セグレ3次元多様体 $F = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \subset \mathbb{P}^7$ 上のランク2局所自由層のモジュライ空間を研究し、中間コホモロジーが消える、すなわち aCM であるものである。
• 特に四次曲面 $Q \subset F$ への制限を用いる幾何的技法により、このようなバンドルを分類・構成する。
• 第一チャーン類 $c_1 = 2h$ および第二チャーン類 $c_2 = 2h_2h_3 + 2h_1h_3 + 4h_1h_2$ の特定の選択に対して、モジュライ空間の構造、次元、および有理型を決定する。
• 標準的インスタントン族から生じない、$F$ 上の新しいウルリッヒバンドルの例を構成する。

提案手法

• 著者たちは、$Q \subset F$ 上の $\mu$-安定ランク2バンドルのモジュライ空間から $F$ 上の半安定 aCM バンドルのモジュライ空間への制限写像を用い、$F$ への埋め込みに伴うセクション $\sigma: Q \to F$ の存在を活用して、写像の単射性を証明する。
• 写像 $e: \mathcal{M}_Q^{\mu s}(0,2) \to \mathcal{M}_F^{ss,U}(2; 2h, 2h_2h_3 + 2h_1h_3 + 4h_1h_2)$ を構成し、これが有理的かつ全射であることを示す。
• $Q$ 上のリーマン–ロッホおよびセール双対性を用いて、制限バンドルのコホモロジー群を計算し、$F$ 上での中間コホモロジーの消滅を証明することで、aCM 条件を確認する。
• モジュライ空間内の一般バンドルのモノイド分解を分析する：$0 \to \mathcal{O}_F(-h_1 - h_2) \to \mathcal{O}_F^{\oplus 4} \to \mathcal{O}_F(h_1 + h_2) \to 0$ であり、$\mathcal{E}(-h)$ がこの複体のホモロジーとして得られることを示す。
• 写像 $e$ によって確立された有理同型を介して、$\mathcal{M}_Q^{\mu s}(0,2)$ の既知の有理型から、$F$ 上のモジュライ空間の有理型が導かれる。
• 特に $\mathbb{P}^3$ からの制限で得られない安定バンドルを用いて、$F$ 上の明示的なウルリッヒバンドルの例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セグレ3次元多様体 $F = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上のランク2 aCM バンドルのモジュライ空間の構造は何か？
• RQ2 特定のチャーン類に対して、このようなバンドルのモジュライ空間が有理的であることを示せるか？
• RQ3 $F$ 上に、$\mathbb{P}^3$ 上のノルム相関バンドルの制限として得られないウルリッヒバンドルは存在するか？
• RQ4 四次曲面 $Q \subset F$ 上の安定バンドルの制限は、$F$ 上の aCM バンドルのモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ5 $c_1 = 2h$ および $c_2 = 2h_2h_3 + 2h_1h_3 + 4h_1h_2$ の場合のモジュライ空間の次元および幾何的性質は何か？

主な発見

• モジュライ空間 $\mathcal{M}_F^{ss,U}(2; 2h, 2h_2h_3 + 2h_1h_3 + 4h_1h_2)$ は、有理的である。これは、既に有理的であることが知られている $\mathcal{M}_Q^{\mu s}(0,2)$ と有理同型であるためである。
• 写像 $e: \mathcal{M}_Q^{\mu s}(0,2) \to \mathcal{M}_F^{ss,U}(2; 2h, 2h_2h_3 + 2h_1h_3 + 4h_1h_2)$ は単射かつ全射であり、両空間の次元が 5 であるため、有理同型である。
• モジュライ空間内の一般バンドル $\mathcal{E}$ は、$\mathcal{E}(-h) \cong \operatorname{Homology}\left(0 \to \mathcal{O}_F(-h_1 - h_2) \to \mathcal{O}_F^{\oplus 4} \to \mathcal{O}_F(h_1 + h_2) \to 0\right)$ を満たし、モノイド分解を提供する。
• チャーン類 $c_1 = 2h$ および $c_2 = 2h_2h_3 + 2h_1h_3 + 4h_1h_2$ を持つ、$\mathbb{P}^3$ 上のインスタントンから生じないウルリッヒバンドルが $F$ 上に存在し、標準的インスタントン族を超える新しい構成法を示す。
• 計算されたバンドルの $F$ 上での中間コホモロジーは消える。これは、$Q$ 上でのセール双対性およびリーマン–ロッホの公式を用いたコホモロジー計算により確認される。
• モジュライ空間は既約的であり、次元は 5 であり、ピカール数 3 のデル・ペッツォ3次元多様体に対する既知の結果と整合的である。