[論文レビュー] Moduli stacks of two-dimensional Galois representations

Ana Caraiani, Matthew Emerton+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$p$--adic 局所体上の $p$ を法とする 2 次元ガロア表現のモジュライスタックを、Breuil–Kisin モジュールとエタール $\varphi$-モジュールを用いて構成する。主な結果は、モジュライスタックの既約成分がセレール重みによって自然にラベル付けされることであり、これは $\mathrm{GL}_2$ のセレール予想の重み部の幾何的実現である。スタックの幾何は、$p$ を法とするガロア表現の表現論的構造を反映しており、一般点はセレール重みによって定まるキャラクターの拡張に対応する。

ABSTRACT

We construct moduli stacks of two-dimensional mod p representations of the absolute Galois group of a p-adic local field, and relate their geometry to the weight part of Serre's conjecture for GL(2).

研究の動機と目的

• $p$--adic 局所体上の 2 次元 $p$ を法とするガロア表現のモジュライスタックを構成し、残り字表現を変化させることを許容する。
• このモジュライスタックの幾何を $\mathrm{GL}_2$ のセレール予想の重み部に関連付ける。
• セレール重みとそれらが $p$ を法とするガロア表現に果たす役割を理解するための幾何的枠組みを提供する。
• モジュライスタックが次元 $[K:\mathbf{Q}_p]$ で等次元的かつ一般に滑らかであることを示し、キシンの仕事にインspした解体を用いる。
• 変形環の特別ファイバーとモジュライスタックの幾何の間の関係を、特に潜在的にバーラスキー＝タイト表現に対して確立する。

提案手法

• セレール重みによって定まる $p$ を法とするガロア表現をパrametrizeするために、Breuil–Kisin モジュールとエタール $\varphi$-モジュールを用いる。
• $\overline{\mathbf{F}}_p$ 上の 2 次元 $p$ を法とするガロア表現のモジュライスタック $\mathcal{Z}$ を構成し、それが有限型の代数的スタックであることを示す。
• 形式的変形設定におけるキシンの構成にインspされた、スタックの部分的解体を導入する。
• スタックの既約成分をセレール重み $\overline{\sigma}$ でラベル付けし、$\mathcal{Z}(\overline{\sigma})$ 上の $\overline{\mathbf{F}}_p$-点がちょうど $\overline{\sigma}$ をセレール重みとして持つ表現 $\overline{r}: G_K \to \mathrm{GL}_2(\overline{\mathbf{F}}_p)$ に一致することを示す。
• パッチドモジュールの理論とサイクル類 $Z^\prime_{\otimes_{v|p}\overline{\sigma}_v}(\overline{\rho})$ を用いて、スタックの幾何と幾何的ブリュア＝メザール予想を関連付ける。
• 解体を用いて、モジュライスタックが一般に滑らかであることを証明し、これにより、たるく潜在的にバーラスキー＝タイト変形環の特別ファイバーに対しても同様の性質が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 残り字表現を変化させることを許容する 2 次元 $p$ を法とするガロア表現のモジュライスタックをどのように構成できるか。
• RQ2 このようなモジュライスタックの幾何は、$\mathrm{GL}_2$ のセレール予想の重み部をどのように反映するか。
• RQ3 セレール重みは、$p$ を法とするガロア表現のモジュライスタックの既約成分をラベル付ける役割を果たすか。
• RQ4 モジュライスタックが一般に滑らかであることを示せるか。また、これにより変形環の幾何にどのような含意が生じるか。
• RQ5 既約成分の一般点は、所定のインertie 制限を満たすキャラクターの拡張とどのように関係するか。

主な発見

• モジュライスタック $\mathcal{Z}$ は $\overline{\mathbf{F}}_p$ 上の有限型代数的スタックであり、次元 $[K:\mathbf{Q}_p]$ で等次元的である。
• スタック $\mathcal{Z}$ の既約成分はセレール重み $\overline{\sigma}$ によって自然にラベル付けされ、$\mathcal{Z}(\overline{\sigma})$ 上の $\overline{\mathbf{F}}_p$-点はちょうど $\overline{\sigma}$ をセレール重みとして持つ表現 $\overline{r}: G_K \to \mathrm{GL}_2(\overline{\mathbf{F}}_p)$ に一致する。
• 既約成分の一般点は、対応するセレール重みによって定まるインナーレーションへの制限を持つキャラクターの拡張に対応する。
• キシンの構成にインスパイアされた部分的解体を用いて、モジュライスタックが一般に滑らかであることが示された。
• この結果により、たるく潜在的にバーラスキー＝タイト変形環の特別ファイバーに対しても一般に滑らかであることが示された。
• セレール重みに付随するサイクル類 $\mathcal{C}_{\overline{\sigma}}$ は有効であり、幾何的ブリュア＝メザール予想は、サイクル $Z^\prime_{\otimes_{v|p}\overline{\sigma}_v}(\overline{\rho})$ が $\overline{\sigma}_v \in W(\overline{r})$ であるときにのみ非ゼロであるという意味で成立する。