[論文レビュー] Modulo $p$ parabolic induction of pro-$p$-Iwahori Hecke algebra

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、放物的誘導を用いて、pro-$p$-Iwahori Hecke代数の非可約 $p$ を法とする表現を分類し、それらの同型類と三つ組 $(P, \sigma, Q)$ の間の自然な全単射を確立する。ここで $\sigma$ はリーマン部分代数の超特異表現である。この分類は、Ollivier と Vignéras が開始したプログラムを完了させ、非可約表現が放物的誘導による新規なモジュール構成を経て、超特異データによってパラメトライズされることを示している。

ABSTRACT

We study the structure of parabolic inductions of a pro-$p$-Iwahori Hecke algebra. In particular, we give a classification of irreducible modulo $p$ representations of pro-$p$-Iwahori Hecke algebra in terms of supersingular representations. Since supersingular representations are classified by Ollivier and Vigneras, it completes the classification of irreducible modulo $p$ representations.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた $p$ を法とする体上の pro-$p$-Iwahori Hecke代数 $\mathcal{H}$ の非可約 $p$ を法とする表現を分類すること。
• 群 $G$ の非可約適応的 $p$ を法とする表現の分類を、Hecke代数の文脈へ拡張すること。
• 非可約 $\mathcal{H}$-加群の同型類と三つ組 $(P, \sigma, Q)$ の間の全単射を確立すること。ここで $\sigma$ は超特異的であり、$P \subset Q \subset P(\sigma)$ を満たす。
• 放物的誘導によって構成された非可約表現が、このような三つ組と一対一に対応することを示し、分類を完成させること。

提案手法

• リーマン部分代数 $M$ の pro-$p$-Iwahori Hecke代数 $\mathcal{H}_M$ の表現 $\sigma$ に対して、放物的誘導 $I_P(\sigma)$ を定義する。
• $\lambda \in Z'_\alpha$ に対して $T^M_\lambda$ が $\sigma$ に自明に作用するような簡約根 $\alpha$ の集合 $\Pi(\sigma)$ を導入し、対応する放物部分群を $P(\sigma)$ と定義する。
• $e(\sigma)$ を $\mathcal{H}_{M(\sigma)}$ への $\sigma$ の拡張とし、$I_Q(e(\sigma))$ の商として $\mathcal{H}$-加群 $I(P, \sigma, Q)$ を構成する。ここで、より大きな放物部分群に対応する部分加群を除く。
• Hecke代数 $\mathcal{H}$ の Iwahori-Matsumoto 基底および Bernstein 基底を用いて、誘導加群の構造とその $\mathcal{A}$-部分加群を分析する。
• $\mathcal{A}$-加群のサポート理論を用いて、非可約成分を同定し、写像 $(P, \sigma, Q) \mapsto I(P, \sigma, Q)$ が単射であることを示す。
• 非可約 $\mathcal{H}$-加群がすべてこの方法で得られることを、$\mathcal{A}$-サポートの分析と超特異表現の分類を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 pro-$p$-Iwahori Hecke代数の非可約 $p$ を法とする表現は、どのように超特異表現の観点から分類できるか？
• RQ2 pro-$p$-Iwahori Hecke代数の $p$ を法とする設定における放物的誘導の正確な構造は何か？
• RQ3 すべての同型類を網羅する、非可約表現の標準的構成は放物的誘導によって可能か？
• RQ4 pro-$p$-Iwahori Hecke代数の文脈において、超臨界性と超特異性の関係は何か？
• RQ5 GL_n における数論的 Langlands 対応は、この分類によって実現可能か？

主な発見

• $ (P, \sigma, Q) \mapsto I(P, \sigma, Q) $ は、非可約 $\mathcal{H}$-加群の同型類と三つ組 $ (P, \sigma, Q) $ の間の全単射を与える。ここで $\sigma$ は $\mathcal{H}_M$ の超特異表現であり、$Q$ は $P \subset Q \subset P(\sigma)$ を満たす放物部分群の範囲で変動する。
• すべての非可約 $\mathcal{H}$-加群は、$I_Q(e(\sigma))$ の商として得られ、$Q$ が関連する範囲内で最大である限り、$Q$ の選び方に依存しない。
• $\mathcal{H}$-加群 $I(P, \sigma, Q)$ が $I(P', \sigma', Q')$ と同型であるための必要十分条件は、$P = P'$、$Q = Q'$、および $\sigma \simeq \sigma'$ が $\mathcal{H}_M$-加群として成り立つことである。
• 超特異表現はちょうど超臨界的である：$\pi = I(P, \sigma, Q)$ が超特異的であることと、$P = G$ すなわち放物部分群が全群であることは同値である。
• この分類は、数論的 $p$ を法とする Langlands 対応と整合的であり、超特異表現の数が固定された行列式を持つ $n$ 次元 $p$ を法とするガロア表現の数と一致する。
• $\mathcal{H}$ の構造は Bernstein 基底および部分代数 $\mathcal{A} = \bigoplus_{\lambda \in \Lambda(1)} C E(\lambda)$ を通して分析され、この $\mathcal{A}$ は非可約 $\mathcal{A}$-部分加群のサポートを制御し、分類を可能にする。