[論文レビュー] Modulo $p$ representations of reductive $p$-adic groups: functorial properties

Noriyuki Abe, Guy Henniart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、再帰的 $p$-進群のモジュラー設定における、パラボリック誘導表現の部分表現のラティスを確立し、一般の非分岐特徴の下で不変性を証明し、Emertonの通常部分関手とパラボリック誘導の右随伴関手を同定することで、$p$-進群のモジュラー表現理論における主要なファンクター的性質を解消する。

ABSTRACT

Let $F$ be a local field with residue characteristic $p$, let $C$ be an algebraically closed field of characteristic $p$, and let $\mathbf{G}$ be a connected reductive $F$-group. In a previous paper, Florian Herzig and the authors classified irreducible admissible $C$-representations of $G=\mathbf{G}(F)$ in terms of supercuspidal representations of Levi subgroups of $G$. Here, for a parabolic subgroup $P$ of $G$ with Levi subgroup $M$ and an irreducible admissible $C$-representation $τ$ of $M$, we determine the lattice of subrepresentations of $\mathrm{Ind}_P^G τ$ and we show that $\mathrm{Ind}_P^G χτ$ is irreducible for a general unramified character $χ$ of $M$. In the reverse direction, we compute the image by the two adjoints of $\mathrm{Ind}_P^G$ of an irreducible admissible representation $π$ of $G$. On the way, we prove that the right adjoint of $\mathrm{Ind}_P^G $ respects admissibility, hence coincides with Emerton's ordinary part functor $\mathrm{Ord}_{\overline{P}}^G$ on admissible representations.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた体 $C$ の特徴が $p$ であるような、代数的閉体上での可解な $C$-表現 $\tau$ に対して、パラボリック誘導表現 $\operatorname{Ind}_P^G \tau$ の部分表現のラティスを決定すること。
• リーマン部分群 $M$ の一般の非分岐特徴 $\chi$ に対して、$\operatorname{Ind}_P^G \chi\tau$ が不変であることを証明すること。
• パラボリック誘導関手の左および右随伴関手の下での可解な表現の像を計算すること。
• パラボリック誘導の右随伴関手 $R^G_{P_1}$ が可解性を保存し、可解な表現上で Emerton の通常部分関手 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}}^G$ と一致することを示すこと。
• 特に非最小パラボリック部分群の場合に、$\operatorname{Ind}_P^G$ 及びその随伴関手の文脈において、通常部分関手の構造を解明すること。

提案手法

• リーマン部分群 $M$ 上の超臨界的表現 $\sigma$ を用いた $I_G(P,\sigma,Q)$ を通じた、$G = \mathbf{G}(F)$ の可解な $C$-表現の分類を用いる。
• 部分表現ラティスの分析に、ヘッケ代数およびコンパクト誘導の理論を適用する。
• 通常部分関手 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}}^G$ を用い、そのパラボリック誘導の右随伴 $R^G_{P_1}$ との整合性を証明する。
• 通常部分の推移性および誘導モジュール上のフィルトレーションを活用し、$e(\sigma) \otimes X_Q^G$ 上での $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$ を計算する。
• 最小パラボリック部分群 $P_{\min}$ を用いて一般の場合を $e$-最小の場合に還元し、ルート系の議論を通じてリーマン成分の固定ベクトルを比較する。
• ルート部分群の構造および $Z(M \cap M_1)$-有限ベクトルを用い、ホモスペースを比較し、通常部分の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $M$ の可解な $C$-表現 $\tau$ に対して、$\operatorname{Ind}_P^G \tau$ の部分表現のラティスは何か？
• RQ2 $M$ の一般の非分岐特徴 $\chi$ に対して、$\operatorname{Ind}_P^G \chi\tau$ は不変か？
• RQ3 パラボリック誘導関手 $\operatorname{Ind}_{P_1}^G$ の左および右随伴関手の下で、可解な表現 $\pi$ の像は何か？
• RQ4 パラボリック誘導の右随伴関手 $R^G_{P_1}$ は可解性を保存し、Emerton の通常部分関手 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$ と一致するか？
• RQ5 $X_Q^G = \mathrm{St}_Q^{P(\sigma)}$ または $\mathrm{Ind}_Q^{P(\sigma)}1$ のとき、通常部分関手 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$ は $e(\sigma) \otimes X_Q^G$ にどのように作用するか？

主な発見

• 可解な $\tau$ に対して、$\operatorname{Ind}_P^G \tau$ の部分表現のラティスは完全に決定され、部分表現は $P$ と $P(\sigma)$ の間の中間パラボリック部分群に対応する。
• $M$ の一般の非分岐特徴 $\chi$ に対して、$\operatorname{Ind}_P^G \chi\tau$ は不変であり、Jean-François Dat の問いに答えを提示する。
• 左随伴関手 $L^G_{P_1}$ は、$P_1 \supset P$ かつ $\langle P_1, Q \rangle$ が $P(\sigma)$ を生成する場合、$L^G_{P_1} I_G(P,\sigma,Q) \cong I_{M_1}(P \cap M_1, \sigma, Q \cap M_1)$ を満たし、そうでない場合は 0 である。
• 右随伴関手 $R^G_{P_1}$ は、$P_1 \supset Q$ の場合、$R^G_{P_1} I_G(P,\sigma,Q) \cong I_{M_1}(P \cap M_1, \sigma, Q \cap M_1)$ を満たし、そうでない場合は 0 である。
• 右随伴関手 $R^G_{P_1}$ は可解性を保存し、可解な表現上で Emerton の通常部分関手 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$ と一致する。
• $\langle P_1, P \rangle \supset Q$ の場合、通常部分 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G(e(\sigma) \otimes X_Q^G)$ は $e_{M_1}(\operatorname{Ord}^M_{M \cap \overline{P}_1} \sigma) \otimes X_{Q \cap M_1}^{M_1}$ に同型であり、そうでない場合は 0 である。