[論文レビュー] Modulus of supporting convexity and supporting smoothness

Grigory Ivanov|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間の単位球面が任意の接超平面からどれほど逸脱しているかを定量化するため、支持凸性のモジュラスと支持滑らかさのモジュラスを導入する。支持凸性のモジュラスがゼロにおいて古典的凸性モジュラスと同値であり、支持滑らかさのモジュラスがゼロにおいて滑らかさモジュラスおよびバナーシュモジュラスと同値であることを確立し、これらの新しいモジュラスに対してデイ–ノルダーランド型の結果を証明する。

ABSTRACT

We introduce the moduli of the supporting convexity and the supporting smoothness of a Banach space, which characterize the deviation of the unit sphere from an arbitrary supporting hyperplane. We show that the modulus of supporting smoothness, the Bana{ś} modulus, and the modulus of smoothness are all equivalent at zero, the modulus of supporting convexity is equivalent at zero to the modulus of convexity. We prove a Day--Nordlander type result for these moduli.

研究の動機と目的

• バナッハ空間における単位球面が任意の接超平面からどれほど逸脱しているかを特徴付ける新しい幾何的モジュラス、すなわち支持凸性および支持滑らかさを定義・分析すること。
• 支持凸性のモジュラスがゼロにおいて古典的凸性モジュラスと同値であること、および支持滑らかさのモジュラスがゼロにおいて滑らかさモジュラスおよびバナーシュモジュラスと同値であることの確立。
• 新しいモジュラスに対して、超平面への距離関数のリプシッツ定数に関連づけて、デイ–ノルダーランド型の推定を証明すること。
• 特にヒルバート空間においては、凸性モジュラスの逆関数を用いて、支持滑らかさのモジュラスの鋭い推定を与えること。

提案手法

• 境界点における接超平面に対する単位球面の幾何的性質に基づき、支持凸性および支持滑らかさのモジュラスを定義する。
• バーキホフ＝ジェイムズ直交性および準直交性を用いて、ベクトル配置を分析し、ノルムおよび接関数への不等式を導出する。
• 同値性の比較の基準として、標準的凸性モジュラス $\delta_X(\varepsilon)$ および滑らかさモジュラス $\rho_X(\tau)$ を用いる。
• 交わる弦と中心対称性を用いた幾何的議論により、支持滑らかさのモジュラスに対する下界を導出する。
• 凸性モジュラスの逆関数 $\delta_X^{-1}$ を用いて、支持滑らかさのモジュラスを凸性モジュラスに関連づける。特にヒルバート空間の場合を重点的に扱う。
• 関数比の比がゼロ近傍で正の定数で有界であるという意味での漸近的比較 $f(t) \asymp g(t)$ を用いて、ゼロにおける同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間において、単位球面が任意の接超平面からどれほど逸脱しているかは、どのように定量化できるか？
• RQ2 新しい支持凸性および支持滑らかさのモジュラスは、ゼロにおいて古典的凸性および滑らかさモジュラスと同値か？
• RQ3 距離関数のリプシッツ定数に関連して、支持滑らかさのモジュラスに対してデイ–ノルダーランド型の不等式を確立できるか？
• RQ4 支持滑らかさのモジュラスの鋭い推定は、凸性モジュラスの逆関数を用いてどのように得られるか？
• RQ5 上界の等号成立条件が、$p \in (1, \infty)$ に対して $L_p$ 空間で成立するか？

主な発見

• 支持凸性のモジュラスはゼロにおいて古典的凸性モジュラス $\delta_X(\varepsilon)$ と同値であり、すなわち $\text{supp}_X(\varepsilon) \asymp \delta_X(\varepsilon)$ が $\varepsilon \to 0$ のとき成り立つ。
• 支持滑らかさのモジュラス $\lambda_X^+(r)$ は、$1 - \frac{1}{2}\delta_X^{-1}(1 - \frac{r}{2}) \leq \lambda_X^+(r)$ を満たし、ヒルバート空間では等号に近づく。
• 支持滑らかさのモジュラスはゼロにおいて滑らかさモジュラス $\rho_X(\tau)$ およびバナーシュモジュラスと同値であり、すなわち $\lambda_X^+(r) \asymp \rho_X(r) \asymp \text{Ban}_X(r)$ が $r \to 0$ のとき成り立つ。
• デイ–ノルダーランド型の推定が証明された：$\lambda_X^+(r) \geq \lambda_X^-(r) \geq \lambda_X^-(1) \cdot \delta_X^{-1}(1 - \frac{r}{\xi_X})$ であり、$\xi_X$ は接関数のノルムである。
• ヒルバート空間では上界 $\lambda_X^+(r) \leq \delta_X(2r)$ が達成され、推定の鋭さが確認される。
• 予想として、推定における上界 $\lambda_X^+(r) \leq \lambda_X^-(1) \cdot \delta_X^{-1}(1 - \frac{r}{\xi_X})$ が、$p \in (1, \infty)$ に対して $L_p$ 空間で等号となることが示唆される。