[論文レビュー] Moebius structures and Ptolemy spaces: boundary at infinity of complex hyperbolic spaces

Sergei Buyalo, Viktor Schroeder|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、関連するファイブレーションの繊維が ℝ に位相的に同型であるとき、コンパクトなポーランド空間に円と多数の空間反転が存在するならば、その境界 at infinity が複素双曲空間 ∂∞ℂℍᵏ に Möbius 同値であることを示すことで、複素双曲空間の境界 at infinity の Möbius 特徴付けを確立する。主な結果は、ヘイセンベルク群構造とコルーニャ計量による、∂∞ℂℍᵏ 上の標準的 Möbius 構造の同定である。

ABSTRACT

The paper initiates a systematic study of Moebius structures and Ptolemy spaces. We conjecture that every compact Ptolemy space with circles and many space inversions is Moebius equivalent to the boundary at infinity of a rank one symmetric space of noncompact type. We prove this conjecture for the class of complex hyperbolic spaces as our main result.

研究の動機と目的

• ランク1の非コンパクト型対称空間の境界 at infinity の Möbius 特徴付けを提供すること。
• 特定の幾何的条件下で、円と空間反転を備えたコンパクトな Ptolemy 空間が ∂∞ℂℍᵏ に Möbius 同値であることを証明すること。
• X\{ω} 上のファイブレーションで繊維が ℝ に位相的に同型である場合、その基底に標準的複素構造が誘導されることを確立すること。
• ∂∞ℂℍᵏ 上の Möbius 構造がヘイセンベルク群上のコルーニャ計量から生じることを示すこと。
• c=2 であるリフト定数が、このような空間の Möbius 同値類を一意に決定することを示すこと。

提案手法

• Möbius 構造と Ptolemy 空間を、Möbius 同値に関して閉じた距離のクラスとして導入し、標準的距離の欠如に注目する。
• 点の対および距離球面に関する空間反転を定義し、それらを用いて Möbius 自己同型を生成する。
• 繊維が ℝᵖ に位相的に同型であるようなファイブレーション πω: X\{ω} → Bω を構成し、空間反転に関して不変であることを示す。
• 標準的分布とバセマン関数を用いて、X\{ω} 上にノンアービット群構造を定義し、それがヘイセンベルク群 ℍᵏ に同型であることを示す。
• 関数 ξu と複素共役を用いて基底 Bω 上に複素構造を確立し、Bω を ℂᵏ⁻¹ に同定する。
• 乗法法則 g·g′ = (z+z′, h+h′ − ½ Im(z,z′)) を用いて、X\{ω} 上のノンアービット群構造とヘイセンベルク群 ℍᵏ 間の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円と空間反転を備えたコンパクトな Ptolemy 空間が、複素双曲空間の境界 at infinity に Möbius 同値である可能性は何か？
• RQ2 Ptolemy 空間のクラスの中で、ℂℍᵏ の境界 at infinity を特徴付ける幾何的不変量は何か？
• RQ3 ℝ-繊維と空間反転を備えたファイブレーションの存在が、基礎となる幾何学的・位相的構造にどのような制約を課えるか？
• RQ4 リフト定数 c が、このような Ptolemy 空間上の Möbius 構造の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 ∂∞ℂℍᵏ 上の標準的 Möbius 構造は、ヘイセンベルク群上のコルーニャ計量によって一意に決定されるか？

主な発見

• 性質 (E) と (I) を満たす任意のコンパクト Ptolemy 空間は、ある n ≥ 1 に対して球面 Sⁿ に位相的に同型である。
• 各 ω ∈ X に対して、繊維が ℝᵖ に位相的に同型であるファイブレーション πω: X\{ω} → Bω が存在する。ここで p は Möbius 不変量である。
• p = 1 のとき、空間 X は n = 2k−1 かつ k ≥ 2 の条件下で ∂∞ℂℍᵏ に Möbius 同値である。
• 基底空間 Bω には標準的複素構造が備わり、これにより Bω は ℂᵏ⁻¹ に微分同相である。
• X\{ω} 上の等長変換群は、乗法法則 g·g′ = (z+z′, h+h′ − ½ Im(z,z′)) を持つ高次元ヘイセンベルク群 ℍᵏ に同型である。
• X\{ω} 上の距離関数は |xx′|⁴ = |z−z′|⁴ + 16|h−h′ − ½ Im(z z′)|² で与えられ、コルーニャ計量に対応する。