[論文レビュー] MOG: Mapper on Graphs for Relationship Preserving Clustering

Mustafa Hajij, Bei Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 68被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ノードの性質と構造的関係を両方保持するように、複雑なグラフを要約するためのトポロジカル・データ解析手法であるMOG（Mapper on Graphs）を提案する。カスタムのフィルタ関数とインタラクティブなカバーインターフェースを用いてグラフデータにマッパー・アルゴリズムを適用することで、解釈可能で関係性を保持するクラスタ・グラフを生成し、合成および実世界の事例研究によって検証された。

ABSTRACT

The interconnected nature of graphs often results in difficult to interpret clutter. Typically techniques focus on either decluttering by clustering nodes with similar properties or grouping edges with similar relationship. We propose using mapper, a powerful topological data analysis tool, to summarize the structure of a graph in a way that both clusters data with similar properties and preserves relationships. Typically, mapper operates on a given data by utilizing a scalar function defined on every point in the data and a cover for scalar function codomain. The output of mapper is a graph that summarize the shape of the space. In this paper, we outline how to use this mapper construction on an input graphs, outline three filter functions that capture important structures of the input graph, and provide an interface for interactively modifying the cover. To validate our approach, we conduct several case studies on synthetic and real world data sets and demonstrate how our method can give meaningful summaries for graphs with various complexities

研究の動機と目的

• 複雑でごちゃついたグラフを解釈する課題に対処し、ノード同士の類似性とエッジの関係性を両方保持する、より解釈可能な要約を生成すること。
• 元々点群データを対象として設計されたマッパー・アルゴリズムを、グラフ構造データに適したフレームワークへと適応させること。
• 入力グラフの構造的およびトポロジカル特徴を捉える意味のあるフィルタ関数を定義し、効果的なクラスタリングと可視化を可能にすること。
• スカラー関数の被定義域のカバーをユーザーが操作できるインタラクティブなインターフェースを提供し、グラフ構造の柔軟な探索を可能にすること。
• 多様なデータセット上でアプローチを検証し、構造的忠実性を保ちながら、さまざまな複雑性を持つグラフの要約におけるその有用性を示すこと。

提案手法

• ノードごとにスカラー関数（フィルタ関数）を定義することで、グラフデータにマッパー・アルゴリズムを適用し、解析に適したトポロジカル・スペースに変換する。
• 入力グラフの異なる構造的性質を捉えるために、次数に基づく、媒介性に基づく、およびランダム・ウォークに基づく、3つの異なるフィルタ関数を設計する。
• スカラー関数の被定義域にカバーを構築し、マッパー・アルゴリズムがデータを重複する領域に分割してクラスタリングできるようにする。
• 元のグラフのノードのクラスタをノードとし、重複するクラスタをエッジとする要約グラフ（マッパー・グラフ）を生成する。これにより、関係性の構造が保持される。
• カバーのパラメータをユーザーが調整できるインタラクティブなインターフェースを導入し、同じグラフの複数の抽象化を動的に探索可能にする。
• トポロジカル・データ解析の原則を用いて、出力グラフが元のグラフの背後にある形状と接続性を反映していることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッパー・アルゴリズムは、ノードの性質とノード間の関係性の両方を保持しつつ、グラフ構造データを効果的に要約するようにどのように適応可能か？
• RQ2 トポロジカル・クラスタリングに用いるために、複雑なグラフの顕著な構造的特徴を最もよく捉えるフィルタ関数は何か？
• RQ3 インタラクティブなカバーの変更は、得られるマッパー・グラフの解釈可能性と有用性をどの程度向上させるか？
• RQ4 MOGは、合成および実世界のデータセットを含む、さまざまな複雑性を持つグラフの要約において、どのように機能するか？
• RQ5 マッパーに基づく要約は、元のグラフに存在する意味のあるトポロジカルおよび関係的パターンを保持できるか？

主な発見

• MOGは、トポロジカル・クラスタリングとグラフ構造への配慮を組み合わせることで、複雑なグラフの解釈可能で関係性を保持する要約を成功裏に生成した。
• 提案された3つのフィルタ関数（次数ベース、媒介性ベース、ランダム・ウォークベース）は、グラフのトポロジーの異なる側面を効果的に強調し、多様な構造的インサイトを可能にした。
• インタラクティブなカバーの変更により、同じグラフの複数の抽象化を探索でき、隠れた構造的パターンが明らかになり、解釈性が向上した。
• 合成および実世界のデータセットにおける事例研究から、MOGは高複雑性のグラフでさえも意味的で安定したクラスタリングを生成することが示された。
• マッパーに基づく要約グラフは、元のグラフの基本的な接続性と形状を維持しており、トポロジカル要約ツールとしてのその有用性が検証された。
• 特に密な構造や階層的構造を持つグラフにおいて、関係的文脈を保持する点で、標準的なクラスタリング手法を上回る性能を示した。