[論文レビュー] Molecules of the Euler problem of two fixed centers and its applications

Seongchan Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2つの固定中心のオイラー問題における負エネルギー超曲面を、楕円座標を用いて周期的軌道およびホモクリニック軌道の分析に用いる。臨界ヤコビエネルギー未満の二重被覆周期的軌道がすべてトーラス紐結びであることを証明し、すべての質量比およびリャプノフ軌道エネルギーにおいてホモクリニック軌道が存在することを示し、安定・不安定多様体が一致し、各軌道が1つの主要天体の周りを丁度1回回転することを明らかにする。

ABSTRACT

We study the molecules of negative energy hypersurfaces of the Euler problem. As an application, we determine the knot types of periodic orbits: we show that for energies below the critical Jacobi energy, every doubly-covered periodic orbit in the regularized system is a torus knot. Moreover, we prove that in the Euler problem homoclinic orbits exist for all mass ratios and for all energies at which the Lyapunov orbit exists. In particular, the unstable and the stable manifolds of the Lyapunov orbit coincide with each other. Moreover, by means of the elliptic coordinates, we show that every homoclinic orbit rotates around one of the primaries precisely once.

研究の動機と目的

• 正則化された2固定中心のオイラー問題における周期的軌道の紐の種類を分類すること。
• すべての質量比およびリャプノフ軌道エネルギーにおいてホモクリニック軌道の存在と幾何的構造を確立すること。
• 楕円座標を用いて、ホモクリニック軌道の主要天体まわりの回転行動を特定すること。
• 2中心問題における負エネルギー超曲面の位相的および力学的性質を特徴づけること。

提案手法

• 動的系を単純化するために、オイラー問題の負エネルギー超曲面を楕円座標で分析する。
• 特異点を扱い、二重被覆周期的軌道を分析するために正則化技術を用いる。
• 位相的分類は、結びつき理論を用いて位相空間への埋め込みを検討することで達成する。
• ホモクリニック軌道は、リャプノフ軌道の安定多様体と不安定多様体の交差を研究することで分析する。
• ホモクリニック軌道の回転行動は、楕円座標における1つの主要天体まわりの巻き数を追跡することで特定する。
• 臨界ヤコビエネルギーを、系の異なる力学的状態の区別に用いる閾値とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化されたオイラー問題において、エネルギーが臨界ヤコビエネルギー未満の場合、二重被覆周期的軌道はどのような紐の種類をとるか？
• RQ2 2固定中心のオイラー問題において、どの質量比およびエネルギーでホモクリニック軌道が存在するか？
• RQ3 リャプノフ軌道の安定多様体と不安定多様体が一致する条件は何か？
• RQ4 各ホモクリニック軌道は、1つの主要天体の周りを何回回転するか？
• RQ5 楕円座標は、ホモクリニック軌道のグローバル構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 臨界ヤコビエネルギー未満の正則化系におけるすべての二重被覆周期的軌道は、トーラス紐結びである。
• すべての質量比およびリャプノフ軌道が存在するエネルギーにおいてホモクリニック軌道が存在する。
• リャプノフ軌道の安定多様体と不安定多様体が一致し、ホモクリニック接続が存在することが示された。
• 各ホモクリニック軌道は、1つの主要天体の周りを丁度1回回転する。
• 楕円座標の使用により、すべてのホモクリニック軌道が主要天体の周りを1回の完全な回転を終えて元の位置に戻ることを確認した。
• 系の位相的構造は、エネルギー準位、質量比、および軌道の巻き数の相互作用によって完全に特徴づけられる。