[論文レビュー] Moment-angle complexes and polyhedral products for convex polytopes

Anton Ayzenberg, Victor Matveevich Buchstaber|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の凸多面体 $P$ の組合せ型を符号化する単体的複体 $K_P$ を導入することで、moment-angle 複体と多面体的積を非単純凸多面体へ拡張する。この研究では、moment-angle 空間 $\mathcal{Z}_P$ が $(D^2, S^1)^{K_P}$ にホモトピー同値であることを証明し、任意の凸多面体に対して双次数付きベッチ数を定義可能にする。主な貢献は、多面体的単体的複体の概念を通じて、Dehn–Sommerville および Bayer–Billera の関係を一般化する新しい組合せ的不等式の確立である。

ABSTRACT

Let P be a convex polytope not simple in general. In the focus of this paper lies a simplicial complex K_P which carries complete information about the combinatorial type of P. In the case when P is simple, K_P is the same as dP*, where P* is a polar dual polytope. Using the canonical embedding of a polytope P into nonnegative orthant, we introduce a moment-angle space Z_P for a polytope P. It is known, that in the case when P is simple the space Z_P is homeomorphic to the polyhedral product (D^2,S^1)^{K_P}. When P is not simple, we prove that the space Z_P is homotopically equivalent to the space (D^2,S^1)^{K_P}. This allows to introduce bigraded Betti numbers for any convex polytope. A Stanley-Reisner ring of a polytope P can be defined as a Stanley-Reisner ring of a simplicial complex K_P. All these considerations lead to a natural question: which simplicial complexes arise as K_P for some polytope P? We have proceeded in this direction by introducing a notion of a polytopic simplicial complex. It has the following property: link of each simplex in a polytopic complex is either contractible, or retractible to a subcomplex, homeomorphic to a sphere. The complex K_P is a polytopic simplicial complex for any polytope P. Links of so called face simplices in a polytopic complex are polytopic complexes as well. This fact is sufficient enough to connect face polynomial of a simplicial complex K_P to the face polynomial of a polytope P, giving a series of inequalities on certain combinatorial characteristics of P. Two of these inequalities are equalities for each P and represent Euler-Poincare formula and one of Bayer-Billera relations for flag f-numbers. In the case when P is simple all inequalities turn out to be classical Dehn-Sommerville relations.

研究の動機と目的

• 単純多面体に限らない一般の凸多面体へ、moment-angle 複体および多面体的積の理論を拡張すること。
• 任意の凸多面体 $P$ の完全な組合せ的構造を記述する単体的複体 $K_P$ を定義すること、特に $P$ が単純でない場合でも同様に有効であること。
• 任意の凸多面体に対して、moment-angle 空間 $\mathcal{Z}_P$ が $(D^2, S^1)^{K_P}$ にホモトピー同値であることを確立すること。
• 多面体的単体的複体の概念を導入し、それによって多面体の面数に関する新しい組合せ的不等式を導出すること。
• $f$-ベクトルが区別できない非同型の自己双対多面体を、$K_P$ の双次数付きベッチ数が区別できることを示すこと。

提案手法

• 多面体 $P$ をその面数 $m$ に対応する $\mathbb{R}_{\geq 0}^m$ への標準埋め込みを用い、moment-angle マップの引き戻しとして moment-angle 空間 $\mathcal{Z}_P$ を定義する。
• $K_P$ を $\partial P$ の面による被覆の神経として定義し、単純多面体の双対境界 $\partial P^*$ を一般化する。
• 単体のリンクがいずれかの単体的複体が可縮または球にホモトピー同値であるような多面体的単体的複体の概念を導入する。
• Hochster の公式を用い、部分複体 $F_\omega = \bigcup_{i \in \omega} \mathcal{F}_i$ の相対コホモロジーを用いて双次数付きベッチ数 $\beta^{-i,2j}(K_P)$ を計算する。
• 多面体の環と二パラメータの面多項式を用いて、多面体 $P$ の面数の関係を示す不等式を導出する。
• サスペンション同型とベッチ数の乗法性を活用し、錐や多面体の積に対する不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 moment-angle 複体と多面体的積を単純多面体から任意の凸多面体へ一般化する方法は何か？
• RQ2 凸多面体 $P$ に関連する単体的複体 $K_P$ が有する組合せ的性質は何か？ また、$P$ の面構造をどのように符号化しているか？
• RQ3 非単純な $P$ に対して、moment-angle 空間 $\mathcal{Z}_P$ が $(D^2, S^1)^{K_P}$ にホモトピー同値である条件は何か？
• RQ4 $K_P$ 及びそのリンクの構造から導ける新しい組合せ的不等式は何か？ また、Dehn–Sommerville や Bayer–Billera の古典的関係とはどのように関係しているか？
• RQ5 $f$-ベクトルが区別できない非同型の自己双対多面体について、$K_P$ の双次数付きベッチ数がそれらを区別できるか？

主な発見

• 任意の凸多面体 $P$ に対して、moment-angle 空間 $\mathcal{Z}_P$ は $(D^2, S^1)^{K_P}$ にホモトピー同値である。これは、かつて単純多面体に限って知られていた結果を拡張するものである。
• $K_P$ は多面体的単体的複体である。つまり、その単体のリンクはいずれも可縮または球にホモトピー同値である。
• $K_P$ の面多項式は、$P$ の面多項式と関連しており、$P$ の面数に関する組合せ的不等式を導く。
• $P$ が単純である場合、これらの不等式は古典的な Dehn–Sommerville 関係に還元され、フラッグ多面体の場合には Bayer–Billera 関係を含む。
• $K_P$ の双次数付きベッチ数は $f$-ベクトルよりも強い不変量である。$f$-ベクトルが同じ $(7,12,7)$ であるが非同型の自己双対多面体 $P$ と $P^*$ について、$\beta^{-2,8}(P)=14$ かつ $\beta^{-2,8}(P^*)=15$ であり、ベッチ数が異なる。
• 錐 $\operatorname{pyr}Q$ に対して、$j > 0$ のとき $\beta^{-i,2j}(\operatorname{pyr}Q) = \beta^{-i,2(j-1)}(Q)$ が成り立ち、錐構成による大域的次数のシフトを示している。