[論文レビュー] Moment-Based Ensemble Control

Vignesh Narayanan, Wei Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2020

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 46被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、パrametricな変動を伴う大規模な力学系の集団に対する閉ループ制御を可能にする統計的モーメントを活用したモーメントベースのアンサンブル制御フレームワークを提案する。微分幾何学を用いてハウスドルフモーメント問題を拡張することで、アンサンブル系とそのモーメント系の間の同等性を確立し、可制御性が保たれることを証明した。これにより、集約的かつ空間的に疎な測定値を用いたフィードバック制御則の設計が可能となり、数学的および数値的に検証された。

ABSTRACT

Controlling a large population, in the limit, a continuum, of structurally identical dynamical systems with parametric variations is a pervasive task in diverse applications in science and engineering. However, the severely underactuated nature and the inability to avail comprehensive state feedback information of such ensemble systems raise significant challenges in analysis and design of ensemble systems. In this paper, we propose a moment-based ensemble control framework, which incorporates and expands the method of moments in probability theory to control theory. In particular, we establish an equivalence between ensemble systems and their moment systems in terms of control and their controllability properties by extending the Hausdorff moment problem from the perspectives of differential geometry and dynamical systems. The developments enable the design of moment-feedback control laws for closing the loop in ensemble systems using the aggregated type of measurements. The feasibility of this closed-loop control design procedure is validated both mathematically and numerically.

研究の動機と目的

• 限られた状態フィードバックを伴う構造的に同一だがパrametricに異なる力学系の集団を制御するという課題に対処すること。
• 神経科学やロボティクスの応用で一般的な、集約的かつ空間的に疎な測定値を用いた閉ループ制御戦略の開発。
• 可制御性の観点から、アンサンブル系とそのモーメント系との間の理論的同等性を確立すること。
• 古典的ハウスドルフモーメント問題を制御応用を想定した微分幾何学的および力学系の枠組みへと拡張すること。
• 計算的に実行可能で測定の疎らさに強く、モーメントフィードバック制御則を可能にすること。

提案手法

• パラメータ依存の力学的ダイナミクスを有する共通の多様体上を進化するパラメータ化された力学系の族としてアンサンブル系を形式化する。
• ラベル付きおよびラベルなしの集約測定に基づく2種類のモーメント（アンサンブルモーメントおよび出力モーメント）を導入する。
• 微分幾何学を用いてハウスドルフモーメント問題を拡張し、アンサンブル系とそのモーメント系との間の動的対応を確立する。
• ホルダーの不等式とベルンシュタイン多項式近似を用いて、モーメント列が平方可積分関数に対応するための必要十分条件を導出する。
• モーメント系のダイナミクスを解くことによりモーメントフィードバック制御則を構築し、閉ループ安定性および可制御性を保証する。
• 測定の切断やサンプリングに対する収束性とロバストネスを示すシミュレーションを通じて、フレームワークの数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンサンブル系の可制御性は、そのモーメント系を制御することで保たれるか？
• RQ2 集約的かつ空間的に疎な測定値を用いて、大規模力学的集団の効果的なフィードバック制御則をどのように設計できるか？
• RQ3 ダイナミクスおよび可観測性の観点から、元のアンサンブル系とそのモーメント表現との間の数学的関係は何か？
• RQ4 モーメント系はどの程度、不偏な標本モーメントを用いて切断または近似可能であり、制御性能を失わないか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、集団的システム行動のモデリングにおいて、平均場理論および統計力学とどのように関連するか？

主な発見

• 元のアンサンブル系の可制御性は、そのモーメント系の可制御性と同等であり、モーメントダイナミクスによる制御が可能となる。
• 微分幾何学を用いてハウスドルフモーメント問題を力学系へと拡張することで、厳密な数学的基盤を確立した。
• モーメント列が平方可積分関数に対応するための必要十分条件が導出され、モーメント表現の一意性および安定性が保証された。
• ベルンシュタイン多項式の使用により、モーメントに基づく制御則の均一近似が可能となり、サンプリングおよび切断下でも収束性が保証された。
• 数値的シミュレーションにより、現実的な測定制約下でも、モーメントフィードバック制御設計の実現可能性とロバストネスが確認された。
• 本手法により、大規模システムにおける全状態フィードバックの必要性を著しく低減した、集約測定値のみを用いた閉ループ制御が可能となった。