[論文レビュー] Moment bounds on the corrector of stochastic homogenization of non-symmetric elliptic finite difference equations

Jonathan Ben‐Artzi, Daniel Marahrens+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、確率的均質化における非対称で一様に強楕円型な有限差分方程式（ランダム係数）において、補正関数およびその勾配の最適なモーメント評価を確立する。定量的混合性を保証する対数ソボレフ不等式（LSI）条件のもとで、著者らは鋭い $L^p$ 評価を導出する：すべての $p < ∞$ に対して $\langle |\nabla\varphi_T(0) + \xi|^{2p} \rangle \leq C|\xi|^{2p}$ が成り立ち、$d=2$ では $\langle |\varphi_T(0)|^{2p} \rangle \leq C \langle |\nabla\varphi_T(0) + \xi|^{2p} \rangle \cdot (\log T)^p$ が成り立つ。ここで定数 $C$ は切断パラメータ $T$ に依存しない。本手法は最大原理に依存せず、離散グリーン関数の重み付き正則性評価と、離散重み付き空間における新規の Calderón-Zygmund 評価を用いて、系へと拡張可能である。

ABSTRACT

We consider the corrector equation from the stochastic homogenization of uniformly elliptic finite-difference equations with random, possibly non-symmetric coefficients. Under the assumption that the coefficients are stationary and ergodic in the quantitative form of a Logarithmic Sobolev inequality (LSI), we obtain optimal bounds on the corrector and its gradient in dimensions $d \geq 2$. Similar estimates have recently been obtained in the special case of diagonal coefficients making extensive use of the maximum principle and scalar techniques. Our new method only invokes arguments that are also available for elliptic systems and does not use the maximum principle. In particular, our proof relies on the LSI to quantify ergodicity and on regularity estimates on the derivative of the discrete Green's function in weighted spaces.

研究の動機と目的

• 最大原理が適用できない非対称でランダムな楕円型有限差分方程式における補正関数の定量的評価の欠如に応える。
• 対数ソボレフ不等式（LSI）による定量的混合性仮定のもとで、補正関数およびその勾配の鋭い $L^p$ モーメント評価を確立する。
• 最大原理に依存しない手法を構築し、楕円型系への応用を可能にする。
• 非対称な場合における定量的2スケール展開および均質化係数近似のための厳密な基礎を提供する。
• 臨界次元 $d=2$ において、グリーン関数の勾配を制御するための離散重み付き空間における新規の Calderón-Zygmund 評価を証明する。

提案手法

• 解析は、$T$ を大きな切断パラメータとして、$\mathbb{Z}^d$ 上の修正された補正関数方程式 $\frac{1}{T}\varphi_T + \nabla^*(a\nabla\varphi_T) = -\nabla^*(a\xi)$ から始める。
• 係数場 $a$ に対数ソボレフ不等式（LSI）を課すことにより、確率的環境の混合速度を制御する定量的混合性を確保する。
• 主な評価は、特にその導関数についての離散グリーン関数に対する重み付き正則性理論を用いて導出される。
• 離散重み付き $\ell^p$ 空間における新規の Calderón-Zygmund 評価が証明され、$d=2$ におけるグリーン関数の勾配の制御に応用される。
• 解の成長を局所化して制御するために、$g$ が $|x|/2$ を模倣するような形の $\zeta = \eta e^{\delta g}$ の形のテスト関数が用いられる。
• エネルギー評価と離散的部分積分を、LSI と組み合わせることで、補正関数およびその勾配のモーメントを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称でランダムな有限差分方程式の確率的均質化において、補正関数の勾配の最適な $L^p$ モーメント評価は何か？
• RQ2 非対称性のため最大原理が利用できない状況で、補正関数自体（勾配ではなく）をどのように制御できるか？
• RQ3 臨界次元 $d=2$ における補正関数の $p$ 階モーメントの鋭い増大率は何か？
• RQ4 定量的混合性（LSI による）をどのように活用し、スカラー的または最大原理に依存しない手法でモーメント評価を導けるか？
• RQ5 臨界次元 $d=2$ における離散グリーン関数の重み付き正則性評価の適切な枠組みは何か？（対数発散を扱うため）

主な発見

• 本論文は、補正関数の勾配に対する最適な $L^p$ 評価を確立する：すべての $1 \leq p < \infty$ および $T \geq 2$ に対して $\langle |\nabla\varphi_T(0) + \xi|^{2p} \rangle \leq C|\xi|^{2p}$ が成り立ち、$C$ は $T$ に依存しない。
• 次元 $d=2$ において、補正関数は $\langle |\varphi_T(0)|^{2p} \rangle \leq C \langle |\nabla\varphi_T(0) + \xi|^{2p} \rangle (\log T)^p$ を満たす。これは、対数的発散の最適レートである。
• 次元 $d > 2$ においては、補正関数のモーメントは勾配のモーメントの定数倍で抑えられ、対数因子は存在しない。
• 離散重み付き $\ell^p$ 空間における新規の Calderón-Zygmund 評価が証明され、$d=2$ における離散グリーン関数の導関数の制御に用いられる。
• 本手法は頑健であり、最大原理に依存しないため、楕円型系（例えば離散線形弾性）へも応用可能である。
• 応用として、最適誤差率を有する定量的2スケール展開および均質化係数の定量的近似が得られる。