[論文レビュー] Moment closure in a Moran model with recombination

Ellen Baake, Thiemo Hustedt|arXiv (Cornell University)|May 4, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般再結合と突然変異を含むモランモデルを拡張し、遺伝的漂流が存在しない場合には、モーメント階層の動的挙動が有限ステップで正確に閉じることを示している。驚くべきことに、再生（遺伝的漂流）が導入されると、この正確なモーメント閉じが失われ、システムが構造的に線形であっても有限階層が破壊される。

ABSTRACT

We extend the Moran model with single-crossover recombination to include general recombination and mutation. We show that, in the case without resampling, the expectations of products of marginal processes defined via partitions of sites form a closed hierarchy, which is exhaustively described by a finite system of differential equations. One thus has the exceptional situation of moment closure in a nonlinear system. Surprisingly, this property is lost when resampling (i.e., genetic drift) is included.

研究の動機と目的

• 一般再結合と突然変異を含む確率的モランモデルにおけるモーメント閉じが生じるかどうかを調査すること。
• 非線形系に一般的に見られる無限階層を避けるために、モーメント動的挙動の階層が有限ステップで閉じるかどうかを特定すること。
• 再生（遺伝的漂流）が、連鎖不平衡および相関の減衰に関連してモーメント閉じに与える影響を検討すること。
• 確率的集団遺伝学モデルにおいて、正確なモーメント閉じが保存されたり失われたりする構造的条件を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、サイト単位のアレルと再結合イベントによって定義される有限タイプ空間上の連続時間マコロフ過程を用いて集団をモデル化する。
• サイトの分割に基づくマージナル過程を定義し、それらの過程の積の期待値を追跡する。
• マコロフ過程の生成作用素を用いて、モーメント動的挙動の連立常微分方程式（ODE）系を導出する。
• 解析により、再生がない場合には、プロセスの分割に基づく構造のおかげで、モーメント階層が有限ステップで閉じることが示される。
• 再生が含まれる場合、導出により高次のモーメントが生じ、閉じが破られる。
• この方法では、再結合と再生の下での相関関数（例：連鎖不平衡）の動的挙動を明示的に比較し、指数的減衰を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モランモデルに一般再結合を含めると、モーメント動的挙動のための有限で閉じたODE系が得られるか？
• RQ2 遺伝的漂流が存在しない場合でも、再結合による非線形相互作用があるにもかかわらず、正確なモーメント閉じが達成可能か？
• RQ3 再生（遺伝的漂流）の導入が、モーメント階層の閉じに与える影響は何か？
• RQ4 分割に基づくマージナルプロセスが正確なモーメント閉じを可能にする役割は何か？
• RQ5 再結合と再生がともに構造的に線形であるにもかかわらず、なぜ再生を追加するとモーメント閉じが失われるのか？

主な発見

• 再生が存在しない場合、マージナルプロセスの積に関するモーメント階層は有限ステップで閉じ、有限ODE系が得られる。
• 突然変異を含んでも、この正確なモーメント閉じは保持されるが、プロセスはもはやサイトの分割によって記述できなくなる。
• 再生の導入によりモーメント閉じが破られる。高次モーメントが微分の過程で継続的に生じる。
• 連鎖不平衡項 $\mathbb{E}[1,2]_tN - \mathbb{E}[1]_t\mathbb{E}[2]_t$ は、再結合および再生の両方の下で指数的に減衰する。
• 3サイト系では、$\mathbb{E}[1]_t[2]_t[3]_t$ の微分に $\mathbb{E}[1]^2_t\mathbb{E}[1,2,3]_t$ のような項が現れ、高次モーメントを生成する。これにより階層が閉じないことが証明される。
• システムは、遺伝的漂流が存在しない場合に限り、ハルデインの線形化の確率的類似物を示す。