[論文レビュー] Moment convergence in renewal theory

A Iksanov, A Alexander Marynych+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、到着間隔時間の分布が安定分布（指数 α ∈ (1, 2]）の吸引域に属する場合、再生過程における絶対モーメントのほとんど確実収束を確立する。最初の絶対モーメントが正規化された再生カウント過程のモーメントが、極限の安定分布のモーメントに収束することを証明し、従来の分布収束結果をモーメント収束へと拡張する。この結果は、部分的順序過程へも拡張される。

ABSTRACT

Let ¿1, ¿2, . . . be independent copies of a positive random variable ¿, and let Sk := ¿ 1 + . . . + ¿ k, k ¿ N0. Define N(t) := #{k ¿ N0 : Sk= t}. (N(t))t=0 is a renewal counting process. It is known that if ¿ is in the domain of attraction of a stable law of index a ¿ (1, 2], then N(t), suitably shifted and scaled, converges in distribution as t ¿ 8 to a random variable with a stable law. We show that in this situation, also the first absolute moments converge to the first absolute moment of the limiting random variable. Further, the corresponding result for subordinators is established.

研究の動機と目的

• 再生理論における既知の分布極限定理を、絶対モーメント収束へと拡張すること。
• 正規化された再生過程の最初の絶対モーメントが、極限の安定分布のモーメントに収束するかどうかを調査すること。
• 再生過程からのモーメント収束結果を部分的順序過程へ一般化すること。
• 弱収束よりも強い形の収束を、最初の絶対モーメントの収束を確立することで得ること。

提案手法

• 再生カウント過程 N(t) = #{k ∈ ℕ₀ : Sk ≤ t} を分析する。ここで Sk は k 個の i.i.d. な正の確率変数の和である。
• 到着間隔時間 ξ が指数 α ∈ (1, 2] の安定分布の吸引域に属する場合を考察する。
• N(t) に正規化と中心化を施し、それが安定分布に分布収束することを保証する。
• 吸引域の性質と正則変動の性質を用いて、最初の絶対モーメントの収束を確立する。
• 有限変動のサンプルパスをもつ類似の確率過程を用いて、結果を部分的順序過程へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 到着間隔時間 ξ が指数 α ∈ (1, 2] の安定分布の吸引域にある場合、正規化された再生過程の最初の絶対モーメントが、極限の安定分布の最初の絶対モーメントに収束するか？
• RQ2 再生理論における分布収束を、絶対モーメントの収束へ強化できるか？
• RQ3 安定分布の吸引域の文脈において、モーメント収束が成立するための条件は何か？
• RQ4 モーメント収束の結果は、再生過程を一般化する部分的順序過程へも拡張可能か？

主な発見

• 到着間隔時間が指数 α ∈ (1, 2] の安定分布の吸引域にある場合、正規化された再生過程の最初の絶対モーメントは、極限の安定分布の最初の絶対モーメントに収束する。
• 古典的再生定理における分布収束が、同じ吸引域条件のもとで最初の絶対モーメントへの収束に強化される。
• 結果は部分的順序過程に対しても成立し、標準的な再生過程を超えたモーメント収束結果が拡張される。
• 証明は正則変動と吸引域の性質に依存しており、この設定では分布収束からモーメント収束が導かれることが保証される。