[論文レビュー] Moment maps, monodromy and mirror manifolds

Richard Thomas|ArXiv.org|Apr 19, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ケラビ=ヤウ多様体内のラグランジュ部分多様体のハミルトニアン変形類において、特別なラグランジュ部分多様体の存在を保証するため、モーメント写像、モノドロミー、ミラー対称性を結びつける予想を提示する。この予想は、順序付きラグランジュ部分多様体の安定性条件を用いて展開され、2次元トーラス（T²）においては、平均曲率フローとシンプレクティック還元によって、提案された安定性条件のもとで特別なラグランジュ部分多様体の存在が確認されている。

ABSTRACT

Via considerations of symplectic reduction, monodromy, mirror symmetry and Chern-Simons functionals, a conjecture is proposed on the existence of special Lagrangians in the hamiltonian deformation class of a given Lagrangian submanifold of a Calabi-Yau manifold. It involves a stability condition for graded Lagrangians, and can be proved for the simple case of $T^2$.

研究の動機と目的

• ケラビ=ヤウ3次元多様体の複素側における正則バンドルとシンプレクティック側におけるラグランジュ部分多様体のミラー対称的対応を確立すること。
• ハミルトニアン変形類に特別なラグランジュ部分多様体が存在することを保証する、順序付きラグランジュ部分多様体の安定性条件を定式化すること。
• モーメント写像構造とシンプレクティック還元を通じて、ヘルミート・ヤン・ミルズ接続と特別なラグランジュサイクルの類似性を拡張すること。
• チェーン＝シモンズ関数とラグランジュ部分多様体上の位相条件が、複素幾何におけるスロープ安定性とどのように双対的であるかを明らかにすること。
• 特にT²上では、接続和における位相の不連続性のため、不安定なラグランジュ部分多様体が滑らかに構成できないことの理由を解明すること。

提案手法

• モーメント写像理論とシンプレクティック還元を用いて、特別なラグランジュ部分多様体の存在問題を有限次元の安定性条件に再定式化する。
• チェーン＝シモンズ関数をラグランジュ部分多様体に適用し、基準ラグランジュから目的ラグランジュへの経路に沿って(F + ω)²を経路積分することで、位相と順序を定義する。
• ホロモーフィック体積形式の位相を用いてラグランジュ部分多様体に順序を導入し、位相差が安定性および接続和の可否を決定づける。
• T²における平均曲率フローを用いて、直線への収束を示し、各ハミルトニアン変形類に特別なラグランジュ部分多様体が存在することを示す。
• フロアコhomologyと順序付き接続和を用いて、二つのラグランジュ部分多様体が滑らかに接続可能かどうかを分析し、位相不等式φ(L₂) > φ(L₁)が有効性を支配する。
• 明示的なミラーペアを必要とせず、形式的なモチベーションとしてミラー対称性を用い、複素幾何（バンドル、接続）とシンプレクティック幾何（ラグランジュ部分多様体、平坦線束）の類似性を描く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序付きラグランジュ部分多様体の安定性条件は、そのハミルトニアン変形類に特別なラグランジュ部分多様体が存在することを保証できるか？
• RQ2 ラグランジュ部分多様体間の位相不等式は、滑らかな順序付き接続和の可能性をどのように制約するか？
• RQ3 チェーン＝シモンズ関数は、ラグランジュ部分多様体におけるスロープ安定性のシンプレクティック類似物を定義する役割を果たすか？
• RQ4 なぜ不安定なラグランジュ部分多様体はT²上に存在できないのか？これはモノドロミーと位相の不連続性とどのように関係するか？
• RQ5 T²における平均曲率フローは、高次元ケラビ=ヤウ多様体における予想の裏付けをどのように提供するか？

主な発見

• T²上では、マスロフ類0の曲線に対する平均曲率フローは直線に収束し、各ハミルトニアン変形類に特別なラグランジュ部分多様体が存在することを証明する。
• 予想された順序付きラグランジュ部分多様体の安定性条件はT²上で満たされており、φ(L₁) > φ(L₂)を満たす不安定な接続和（例：L₁#L₂）は位相の不連続性を引き起こすため、不可能である。
• 特別なラグランジュ部分多様体の順序付き接続和は、第二のラグランジュ部分多様体の位相が最初のものよりπ以上大きい場合にのみ存在し、これにより整合性のある向きと順序が保証される。
• 経路に沿った(F + ω)²の積分として定義されるラグランジュ部分多様体上のチェーン＝シモンズ関数は、シンプレクティック幾何における正則カスン不変量の類似であり、位相と安定性とを結びつける。
• ハミルトニアン変形同値は位相と順序構造を保存するため、フロアコhomology類を介して形成された接続和は、特別なラグランジュ部分多様体代表元と同様の位相不等式を満たさなければならない。
• ミラー対称性は、平坦接続を持つ正則バンドルと平坦線束を持つラグランジュ部分多様体の双対性を動機づけ、チェーン＝シモンズ関数の臨界点が特別なラグランジュ部分多様体と正則接続に対応することを示唆する。