[論文レビュー] Moment/Sum-of-Squares Hierarchy for Complex Polynomial Optimization

Cédric Josz, Daniel K. Molzahn|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 80被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、コンpact集合上での実数値複素多項式問題のグローバル最適化を解くための複雑なモーメント/平方和階層を導入し、D’AngeloとPutinarのPositivstellensatzを活用して、複素半定値計画問題の系列を構築する。この手法により、スパarsityを活用し、理論的保証を維持したまま、数千の複素変数を含む大規模な最適潮流問題のグローバル収束と効率的解法が可能となる。

ABSTRACT

We consider the problem of finding the global optimum of a real-valued complex polynomial on a compact set defined by real-valued complex polynomial inequalities. It reduces to solving a sequence of complex semidefinite programming relaxations that grow tighter and tighter thanks to D'Angelo's and Putinar's Positivstellenstatz discovered in 2008. In other words, the Lasserre hierarchy may be transposed to complex numbers. We propose a method for exploiting sparsity and apply the complex hierarchy to problems with several thousand complex variables. These problems consist of computing optimal power flows in the European high-voltage transmission network.

研究の動機と目的

• コンパクトな実行可能集合を有する複素多項式最適化問題に、Lasserreのモーメント/平方和階層を拡張すること。
• グローバル収束と強い双対性を保証する理論的根拠に基づいた複素半定値計画緩和フレームワークを構築すること。
• 高圧送電網における最適潮流のような大規模問題におけるスパarsityを活用し、計算の実行可能性を向上させること。
• 階層からグローバル最適な実行可能解を抽出するための十分条件を提供すること。
• 実モーメント問題の結果を一般化する新しい切り捨てられた複素モーメント問題の解法を確立すること。

提案手法

• 実数値のRadon測度を用いて、複素モーメントおよび局所化行列の新規定式化を導入し、複素モーメント/平方和階層を構築する。
• D’AngeloとPutinarのPositivstellensatzを適用し、正の多項式を正則多項式の絶対値の二乗の重み付き和として表現する。
• Positivstellensatzの正性仮定を満たすために、スラック変数と冗長な球面制約 $|z_1|^2 + \cdots + |z_{n+1}|^2 = R^2$ を導入する。
• グローバル収束を保ちつつ多項式構造のスパarsityを活用するため、多重順序階層を実装する。
• 弦型スパarsityとクリークベースの分解を用いて、特に2次制約において半定値計画問題のサイズを削減する。
• トーラス作用における不変性を利用した階層を導入し、対称的問題において問題構造を単純化し、収束を加速する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lasserreのモーメント/平方和階層は、コンパクトな実行可能集合を有する複素多項式最適化問題に、うまく適用可能か？
• RQ2 複素多項式最適化問題におけるスパarsityをどのように活用すれば、計算複雑性を低減しつつグローバル収束を維持できるか？
• RQ3 複素モーメント/平方和階層において、強い双対性とグローバル最適性回復を保証する条件は何か？
• RQ4 実ケースを一般化する形で、切り捨てられた複素モーメント問題を解く方法は存在するか？ そして、グローバル解の抽出を可能にするか？
• RQ5 大規模問題、例えば最適潮流のような問題において、複素階層は実数値階層と比較して、性能および境界品質において優れているか？

主な発見

• 複素モーメント/平方和階層は、複素多項式最適化問題の真の最適値にグローバル収束する。
• やや緩い条件下でもグローバル収束と強い双対性を達成でき、グローバル最適な実行可能解の抽出のための十分条件が得られる。
• 5バス最適潮流問題において、$d_i=1$ または $2$ の場合、グローバル最適な目的関数値 946.8 を達成した。
• スパarsityを活用したアルゴリズムを用いて解を得ており、複素階層は実数値の対応物よりも計算効率に優れている。
• 弦型スパarsityとクリーク分解を用いて問題サイズを削減し、数え千の複素変数を含む問題の解法を可能にした。理論的保証を維持しながらも、効率的である。
• トーラス作用における不変性を有する複素階層により、対称的設定における収束解析が可能になり、問題構造が単純化される。