[論文レビュー] Moments and convex optimization for analysis and control of nonlinear partial differential equations

Milan Korda, Didier Henrion+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、多項式データを有する非線形偏微分方程式（PDE）の解析および制御のための凸最適化フレームワークを提案する。弱い測度に基づく埋め込みを用いて、無限次元線形計画法（LP）を定式化し、その近似として有限次元の半定値計画法（SDP）の階層を用いる。この手法により、PDE解の汎関数に関する厳密な境界が得られ、空間的・時間的グリッド化を伴わずに部分最適な多項式フィードバック制御則が計算可能であり、標準的な仮定の下で収束保証が得られる。

ABSTRACT

This work presents a convex-optimization-based framework for analysis and control of nonlinear partial differential equations. The approach uses a particular weak embedding of the nonlinear PDE, resulting in a linear equation in the space of Borel measures. This equation is then used as a constraint of an infinite-dimensional linear programming problem (LP). This LP is then approximated by a hierarchy of convex, finite-dimensional, semidefinite programming problems (SDPs). In the case of analysis of uncontrolled PDEs, the solutions to these SDPs provide bounds on a specified, possibly nonlinear, functional of the solutions to the PDE; in the case of PDE control, the solutions to these SDPs provide bounds on the optimal value of a given optimal control problem as well as suboptimal feedback controllers. The entire approach is based purely on convex optimization and does not rely on spatio-temporal gridding, even though the PDE addressed can be fully nonlinear. The approach is applicable to a very broad class nonlinear PDEs with polynomial data. Computational complexity is analyzed and several complexity reduction procedures are described. Numerical examples demonstrate the approach.

研究の動機と目的

• 空間的・時間的グリッド化に依存しない、非線形PDEの解析および制御のための凸最適化ベースのフレームワークの構築。
• 制御なしの場合のPDE解の非線形汎関数に対する厳密な境界の提供。
• 制御付きPDEの部分最適な多項式フィードバック制御則の計算。
• 標準的な仮定の下で、無限次元LPの最適値への近似階層の収束を保証すること。
• 構造の活用と複雑度低減技術を用いて計算効率の向上を実現すること。

提案手法

• 解のグラフに台を持つ測度のモーメント列を用いて、非線形PDEをBorel測度の無限次元空間に埋め込み、測度空間における線形方程式を得る。
• 測度方程式を制約条件とし、ユーザー定義の汎関数を目的関数とする無限次元線形計画法（LP）問題を定式化する。
• Lasserreの階層に基づく有限次元凸半定値計画法（SDP）緩和により、無限次元LPを近似する。
• 空間的・時間的離散化を経由せずに、解のグラフに台を持つ測度のモーメント列を用いる。
• スパarsityの活用や基底変換などの複雑度低減技術を適用してスケーラビリティを向上させる。
• SDP解からモーメントマッチングにより多項式フィードバック制御則を抽出し、PDEを数値的に解かずに閉ループシミュレーションを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的・時間的グリッド化に依存しない、非線形PDEの解析および制御のための凸最適化フレームワークは構築可能か？
• RQ2 無限次元LP定式化が、元のPDE問題の真の最適値に収束する条件は何か？
• RQ3 境界の有効性と制御則の品質を維持しつつ、計算複雑度をどのように低減できるか？
• RQ4 本手法は、多項式データを有する非線形PDEの解の汎関数に対して、証明可能な有効な境界と部分最適なフィードバック制御則を提供できるか？
• RQ5 エントロピー制約や弱解・強解の一意性の結果は、測度ベースのLPと元のPDE問題との間の同値性確立にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 標準的な仮定の下で、緩和度が上昇するに従い、SDP緩和の階層は、無限次元LPの最適値へ単調に収束する。
• Burgers方程式の例では、MOSEKを用いて約1.2秒で3次多項式フィードバック制御則を計算し、100点の空間グリッド上で1ステップあたり1.5msの評価時間で実行可能であった。
• 閉ループシミュレーションでは、ゼロへの安定収束が確認され、数値的にPDEを解かずに計算された制御則の実用的有効性が示された。
• SDPソルバの数値精度の範囲内で、PDEの力学的複雑性にかかわらず、汎関数の境界とフィードバック制御則が有効である。
• 一度モーメント数が固定されれば、PDEの力学的複雑性に依存しない計算コストとなるため、高レイノルズ数流れに対しても適している。
• 本手法により、PDE解の汎関数に関する厳密な境界が得られることで、数値ソルバのロバストネス解析と検証が可能になる。