[論文レビュー] Moments and Cumulants of Polynomial random variables on unitary groups, the Itzykson-Zuber integral and free probability

Benoı̂t Collins|ArXiv.org|May 7, 2002

Random Matrices and Applications被引用数 86

ひとこと要約

本稿では、対称群のキャラクターとシュール関数を用いて、ユニタリ群上の多項式関数のモーメントおよび累積量の明示的代数的公式を提示する。行列モデル積分およびイツィクソン＝ツーバー積分の対数の漸近的収束を確立し、累積量の母関数の極限表現を導出し、自由確率論におけるボイクレスクのR変換と関連付ける。

ABSTRACT

We consider integrals on unitary groups $U_d$ of the form $$\int_{U_d}U_{i_1j_1}... U_{i_qj_q}U^*_{j'_{1}i'_{1}} ... U^*_{j'_{q'}i'_{q'}}dU$$ We give an explicit formula in terms of characters of symmetric groups and Schur functions, which allows us to rederive an asymptotic expansion as $d o\infty$. Using this we rederive and strenghthen a result of asymptotic freeness due to Voiculescu. We then study large $d$ asymptotics of matrix model integrals and of the logarithm of Itzykson-Zuber integrals and show that they converge towards a limit when considered as power series. In particular we give an explicit formula for $$\lim_{d o\infty}\frac{\partial^n}{\partial z^n}d^{-2} \log\int_{U_d} e^{zd Tr (XUYU^*)}dU|_{z=0}$$ assuming that the normalized traces $d^{-1} Tr(X^k)$ and $d^{-1} Tr (Y^k)$ converge in the large $d$ limit. We consider as well a different scaling and relate its asymptotics to Voiculescu's R-transform.

研究の動機と目的

• ユニタリ群上の多項式関数の積分に対して、対称群のキャラクターとシュール関数を用いて明示的公式を導出すること。
• ユニタリ行列と確定的行列のためのボイクレスクの漸近的自由性結果を再導出し、強化すること。
• 行列モデル積分およびイツィクソン＝ツーバー積分の対数の大dにおける漸近挙動を分析し、そのべき級数係数の収束を示すこと。
• イツィクソン＝ツーバー積分の漸近的累積量と自由確率論におけるボイクレスクのR変換との明確な関連を確立すること。
• 組合せ的構造および母関数を用いて、極限累積量の図式的・代数的解釈を提供すること。

提案手法

• ウェインゲルテン計算を用いて、$\mathbb{U}_d$ 上の多項式関数の積分を対称群のキャラクターとシュール関数で表現する。
• 定理2.1を適用し、特定の巡回型条件を満たす置換の和を取ることでモーメントおよび累積量を計算する。
• 母関数および累積量展開を用いて、$d^{-2}\log\int e^{zd\,{\rm Tr}(XUYU^*)}dU$ の $d\to\infty$ における漸近的挙動を分析する。
• $z=0$ における $q$ 階微分の極限を、$x_k = \lim d^{-1}{\rm Tr}(X^k)$ および $y_k = \lim d^{-1}{\rm Tr}(Y^k)$ の有理関数として導出する。
• 図式的技法および対称関数論を用いて、極限係数の組合せ的解釈を行う。
• 恒等式 $\lim_{d\to\infty} d \cdot \partial^q_z F_{d,X,Y}(0) = (q-1)! \cdot k_q(Y)$ を用いて、イツィクソン＝ツーバー積分の漸近的挙動をボイクレスクのR変換と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イツィクソン＝ツーバー積分の漸近的極限は、$z$ のべき級数として明示的に表現可能か？ その係数は $X$ および $Y$ の極限スペクトル分布のみに依存するか？
• RQ2 $d\to\infty$ の下で、トレース $\,{\rm Tr}(XUYU^*)$ の累積量はどのように漸近的に振る舞い、自由確率論のツール（例：R変換）と関連づけられるか？
• RQ3 ユニタリ群上の行列モデル積分の収束の背後にある正確な代数的構造は何か？ また、エルミート行列を超えて一般化可能か？
• RQ4 $d^{-2}\log\int e^{zd\,{\rm Tr}(XUYU^*)}dU$ の極限累積量の閉形式母関数は存在するか？
• RQ5 累積量生成関数の収束を、$\mathbb{C}$ のコンパクト部分集合上で一様収束に強化できるか？

主な発見

• $F_{d,X,Y} = d^{-2}\log\int e^{zd\,{\rm Tr}(XUYU^*)}dU$ の $q$ 階微分が $z=0$ で $d\to\infty$ に伴い収束し、その極限は $X$ および $Y$ の極限スペクトル分布にのみ依存する。係数は $x_k = \lim d^{-1}{\rm Tr}(X^k)$ および $y_k = \lim d^{-1}{\rm Tr}(Y^k)$ の有理関数として明示的に与えられる。
• $q=2$ の場合、$d^{-2}C_2(d^2{\rm tr}A)$ の極限は $x_2 y_2$ に等しく、累積量の主要項の振る舞いを確認する。
• $q=3$ の場合、$d^{-2}C_3(d^2{\rm tr}A)$ の極限は $x_3 y_3$ に等しく、累積量の主要項の振る舞いを確認する。
• $q=4$ の場合、$d^{-2}C_4(d^2{\rm tr}A)$ の極限は $x_4 y_4 + 3x_2^2 y_2^2 - 2x_2^2 y_4 - 2x_4 y_2^2$ に等しく、積の項を超える非自明な組合せ的構造を示す。
• $X$ がランク1射影のとき、$\lim_{d\to\infty} d \cdot \partial^q_z F_{d,X,Y}(0) = (q-1)! \cdot k_q(Y)$ が成り立ち、イツィクソン＝ツーバー積分とボイクレスクのR変換を直接関連付ける。
• 累積量生成関数の係数は $d$ の有理関数に収束し、その漸近的挙動は既知のウェインゲルテン関数 $\mathrm{Wg}(\sigma,d)$ の挙動と整合的である。
• 本手法により、$U, V, U^*, V^*$ の長さ8までの縮約語のトレースの期待値を明示的に計算可能であり、例として $\mathbb{E}[{\rm tr}((UVU^*V^*)^2)] = \frac{-4}{d^2(d^2-1)}$ が得られる。