[論文レビュー] Moments Calculation For the Doubly Truncated Multivariate Normal Density

B.G. Manjunath, Stefan Wilhelm|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2012

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 16被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、モーメント生成関数法を用いて、任意の長方形領域による二重切断に対する多変量正規分布の切り捨てられた平均および分散の明示的公式を導出する。主な貢献は、モーメントの閉形式解および切断後の精度行列における不変性性質であり、統計的モデリングおよびグラフィカルモデルにおける実用的応用を想定してRで実装されている。

ABSTRACT

In the present article we derive an explicit expression for the trun- cated mean and variance for the multivariate normal distribution with ar- bitrary rectangular double truncation. We use the moment generating ap- proach of Tallis (1961) and extend it to general μ, Σ and all combinations of truncation. As part of the solution we also give a formula for the bivari- ate marginal density of truncated multinormal variates. We also prove an invariance property of some elements of the inverse covariance after trunca- tion. Computer algorithms for computing the truncated mean, variance and the bivariate marginal probabilities for doubly truncated multivariate normal variates have been written in R and are presented along with three examples.

研究の動機と目的

• 任意の長方形領域による二重切断下での多変量正規分布の一次および二次モーメントに対する一般解の開発。
• Tallis (1961) のモーメント生成関数法を一般化した平均ベクトルおよび分散共分散行列を伴う完全な二重切断に対応するように拡張。
• 切断された多変量正規変数の二次元周辺密度関数の公式の提供。
• 特に非切断変数に対して、切断後の精度行列要素に成立する不変性性質の証明。
• 金融およびグラフィカルモデルにおける応用を支援するため、Rを用いた切り捨てられたモーメントおよび周辺確率のための計算アルゴリズムの実装。

提案手法

• Tallis (1961) のモーメント生成関数法を一般化し、一般の二重切断下での切り捨てられた平均および分散の明示的表現を導出。
• 分割行列の逆行列およびJohnson-Kotzの公式を用いて、切り捨てられた分散共分散行列および精度行列を表現。
• 解法フレームワークの一部として、切断された多変量正規変数の二次元周辺密度関数を導出。
• 非切断変数に対して、精度行列の非対角成分が切断後も不変であることを証明。
• Rを用いた数値アルゴリズムを実装し、切り捨てられたモーメント、周辺確率、精度行列要素の計算を可能に。
• Whittaker (1990) のバタフライ型グラフィカルモデルを含む、三つの具体的な例を通じて結果の妥当性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の長方形領域による二重切断下での多変量正規分布の一次および二次モーメントに対する閉形式の式は何か？
• RQ2 二重切断多変量正規変数の二次元周辺密度関数は、どのように明示的に導出できるか？
• RQ3 二重切断後に不変となる精度行列の要素は何か？また、その条件は何か？
• RQ4 モーメント生成関数法は、一般の平均ベクトルおよび分散共分散行列を伴う二重切断状況にどのように拡張できるか？
• RQ5 不変性性質の計算的影響は、選択後のグラフィカルモデルにおける偏相関推定にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 任意の長方形領域による二重切断下での多変量正規分布の切り捨てられた平均および分散に対する明示的閉形式式が導出された。
• 切り捨てられた多変量正規変数の二次元周辺密度関数が解法の一部として導出され、同時に確率の計算が可能になった。
• 不変性性質が証明された：非切断変数に対して、精度行列の非対角成分は切断後も変化しない。
• 切断された変数の精度行列の対角成分は更新され、選択に伴う偏分散の変化を反映している。
• Rパッケージ `tmvtnorm` に導出された公式の実装が含まれており、切り捨てられたモーメントおよび周辺確率の効率的計算が可能である。
• 本手法は、ファイナンスモデリング（例：オート・コールアブル・デリバティブ）およびグラフィカルモデル、特に条件付き独立構造の応用を支援する。