[論文レビュー] Momentum maps and classical relativistic fields. Part 1: Covariant Field Theory

Mark J. Gotay, Jerrold E. Marsden+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1997

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 116

ひとこと要約

本稿は、多シンプレクティック幾何学を用いて、古典場理論の共変形式を導入し、ゲージ対称性のための運動量写像を確立することで、制約とゲージ変換を統一する。時空共変な枠組みにおいてネーターの定理を導出し、エネルギー運動量写像が相対論的場理論における保存則と対称性をどのように記述するかを示す。

ABSTRACT

This is the first paper of a five part work in which we study the Lagrangian and Hamiltonian structure of classical field theories with constraints. Our goal is to explore some of the connections between initial value constraints and gauge transformations in such theories (either relativistic or not). To do this, in the course of these four papers, we develop and use a number of tools from symplectic and multisymplectic geometry. Of central importance in our analysis is the notion of the ``energy-momentum map'' associated to the gauge group of a given classical field theory. We hope to demonstrate that many different and apparently unrelated facets of field theories can be thereby tied together and understood in an essentially new way. In Part I we develop some of the basic theory of classical fields from a spacetime covariant viewpoint. We begin with a study of the covariant Lagrangian and Hamiltonian formalisms, on jet bundles and multisymplectic manifolds, respectively. Then we discuss symmetries, conservation laws, and Noether's theorem in terms of ``covariant momentum maps.''

研究の動機と目的

• 時空共変なラグランジュ形式およびハミルトニアン形式を、ジャンボンドおよび多シンプレクティック多様体を用いて開発すること。
• 制約を伴う場理論における初期値制約とゲージ変換の関係を明確化すること。
• 相対論的場理論における対称性と保存則を理解するための中心的ツールとしてエネルギー運動量写像を導入すること。
• ゲージ自由度、制約、保存則といった、見かけ上異なる場理論の側面を幾何的構造を通じて統一すること。
• シンプレクティックおよび多シンプレクティック幾何学の道具を用いて、古典的場理論のより深い幾何的理解の基盤を築くこと。

提案手法

• ジャンボンドおよび多シンプレクティック多様体上で、共変なラグランジュ形式およびハミルトニアン構造を形式化すること。
• 場理論の位相空間におけるゲージ群の作用に対する運動量写像を定義すること。
• 多シンプレクティック設定においてネーターの定理を適用し、時空対称性から保存則を導出すること。
• エネルギー運動量写像を用いて、ポincare 対称性および内部ゲージ対称性に関連する保存量を特徴付けること。
• 多シンプレクティック形式の引き戻しを用いて制約を分析し、それらがゲージ不変性とどのように関係するかを検討すること。
• 共変時空枠組み内での対称性、保存則、運動量写像の間の幾何的対応関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量写像形式主義を、時空共変的に古典的場理論にどのように拡張できるか。
• RQ2 相対論的場理論における初期値制約とゲージ変換の間の幾何的関係は何か。
• RQ3 多シンプレクティック枠組みにおいて、場理論の保存則はどのように対称性から生じるか。
• RQ4 エネルギー運動量写像が、場理論における対称性と保存量の記述をどのように統一するか。
• RQ5 ゲージ対称性と制約の相互作用を、運動量写像などの幾何的道具を用いて体系的に分析する方法は何か。

主な発見

• ゲージ群のための運動量写像は、古典的場理論における保存量を統一的な幾何的記述で与える。
• ネーターの定理が多シンプレクティック設定において再定式化され、時空対称性が保存則に直接結びつくことが示された。
• エネルギー運動量写像は、ポincare 対称性および内部ゲージ対称性を捉え、それらの共通する幾何的起源を明らかにした。
• 初期値形式における制約が、運動量写像の核と本質的に関係していることが示された。
• ジャンボンドおよび多シンプレクティック多様体上の共変形式主義により、ゲージ自由度を有する場理論の一貫した取り扱いが可能になった。
• この枠組みにより、保存則とゲージ不変性が、同じ根本的な幾何的構造—運動量写像—から生じることが明らかになった。