[論文レビュー] Momentum Maps and Classical Relativistic Fields. Part I: Covariant Field Theory

Mark J. Gotay, James Isenberg+2 more|ArXiv.org|Jan 16, 1998

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 55

ひとこと要約

本稿は、多シンプレクティック幾何学と運動量マップを用いた共変場理論枠組みを構築し、古典的相対論的場理論における対称性、制約、ゲージ自由度の統一的取り扱いを可能にする。Euler–Lagrange方程式が、ゲージ変換を除いて、双曲型進化方程式と第一類制約の組み合わせと等価であることが示され、後者は共変運動量マップを介してゲージ変換を生成する。

ABSTRACT

This is the first paper of a five part work in which we study the Lagrangian and Hamiltonian structure of classical field theories with constraints. Our goal is to explore some of the connections between initial value constraints and gauge transformations in such theories (either relativistic or not). To do this, in the course of these four papers, we develop and use a number of tools from symplectic and multisymplectic geometry. Of central importance in our analysis is the notion of the ``energy-momentum map'' associated to the gauge group of a given classical field theory. We hope to demonstrate that many different and apparently unrelated facets of field theories can be thereby tied together and understood in an essentially new way. In Part I we develop some of the basic theory of classical fields from a spacetime covariant viewpoint. We begin with a study of the covariant Lagrangian and Hamiltonian formalisms, on jet bundles and multisymplectic manifolds, respectively. Then we discuss symmetries, conservation laws, and Noether's theorem in terms of ``covariant momentum maps.''

研究の動機と目的

• 古典的相対論的場理論における初期値制約とゲージ対称性の統一的取り扱いを、幾何学的手法を用いて行う。
• ゲージ自由度を有する場理論へのネーターの定理の一般化を可能にする、運動量マップの共変形式化を構築する。
• パrametrized場理論および計量場理論におけるハミルトニアン構造、制約の伝播、ゲージ不変性の相関関係を明確化する。
• 重力、ヤン・ミルズ、流体、およびストリング理論を含む、共通の多シンプレクティック形式で取り扱える幾何学的枠組みを提供する。
• 制約関数がゲージ変換を生成すること、およびハミルトニアンがアトラス場に関して線形であることから、一貫したゲージ固定が可能になることを示す。

提案手法

• ジェットバンドルおよびその双対を用いた多シンプレクティック幾何学を用いて、古典的場理論の共変位相空間を記述する。
• カルタン形式と共変リーマン変換を導入し、ラグランジアン密度からEuler–Lagrange方程式を導出する。
• ジェットの延長と共変正準変換を定義し、多シンプレクティック構造を保存する。
• 時空的および内部対称性に関連する共変運動量マップの概念を導入し、ネーターの定理を場理論へ一般化する。
• 制約関数の汎関数微分の対称形式を用いた、随伴系としての進化方程式を導出する。
• 形式的枠組みをパラメトリック場理論に適用し、アトラス場（ゲージ自由度を支配する）を任意関数として扱い、ゲージ固定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共変的で多シンプレクティックな枠組みを用いて、ゲージ対称性を有する相対論的場理論におけるネーターの定理をどのように一般化できるか？
• RQ2 古典的場理論における初期値制約とゲージ変換の間の正確な幾何学的関係は何か？
• RQ3 Euler–Lagrange方程式は、未定義かつ過剰に定義された系として矛盾を含むが、どのように一貫した力学系として整合するか？
• RQ4 ハミルトニアン構造が制約の線形結合として表現される場合、その構造が理論の力学とゲージ自由度をどのように記述するか？
• RQ5 この形式的枠組みは、計量場理論および非計量場理論（重力、ヤン・ミルズ、流体、ストリング理論など）にどのように適用可能か？

主な発見

• Euler–Lagrange方程式は、ゲージ変換を除いて、双曲型進化方程式と第一類制約の組み合わせと等価である。
• 制約関数は、コーシー初期データ上のシンプレクティック構造を介してゲージ変換を生成し、制約とゲージ自由度の直接的な関連を確立する。
• ハミルトニアンは $ H = abla_{ ext{int}} ho imes \text{constraints} $ の形を取り、アトラス場 $ \alpha_i $ に関して線形であり、これらはゲージ固定パラメータとして機能する。
• 進化方程式は随伴形式で表現される：$ \frac{d}{d\lambda} \binom{\psi}{\rho} = \mathbb{J} \cdot \sum_i [D\Phi^i]^* \alpha_i $、これにより制約の保存が保証される。
• 形式的枠組みは、計量場理論およびパラメトリック場理論に一様に適用可能であり、重力、ヤン・ミルズ、流体、ストリング理論に対しても、計量を動的またはパラメトリックな場として取り扱うことで有効である。
• 運動量マップの構成により、対称性、保存則、ゲージ不変性が一つの共変的枠組み内で幾何学的に統一される。