[論文レビュー] Momentum-Space Approach to Asymptotic Expansion for Stochastic Filtering and other Problems

Masaaki Fujii|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、フーリエ変換と多項式近似を用いて非線形フィルタリング問題を解ける再帰的ODE系に変換する、運動量空間における漸近展開法を導入する。この手法により、部分ステップ法を用いた高次元の数値計算が効率的に行えるようになり、標準的な漸近法が失敗する領域でも著しく精度が向上する。

ABSTRACT

This paper develops an asymptotic expansion technique in momentum space. It is shown that Fourier transformation combined with a polynomial-function approximation of the nonlinear terms gives a closed recursive system of ordinary differential equations (ODEs) as an asymptotic expansion of the conditional distribution appearing in stochastic filtering problems. Thanks to the simplicity of the ODE system, higher order calculation can be performed easily. Furthermore, solving ODEs sequentially with small sub-periods with updated initial conditions makes it possible to implement a substepping method for asymptotic expansion in a numerically efficient way. This is found to improve the performance significantly where otherwise the approximation fails badly. The method may be useful for other applications, such as, option pricing in finance as well as measure-valued stochastic dynamics in general.

研究の動機と目的

• 非線形確率的フィルタリング問題における高次漸近近似の課題に取り組む。
• 複雑なフィルタリング状況において、標準的な漸近法が数値的に不安定になる問題を克服する。
• 確率的フィルタリングにおける条件付き分布の計算を、計算的に効率的なフレームワークとして開発する。
• 再帰的ODEと部分ステップ法を用いて、高次漸近展開の実用的実装を可能にする。
• 本手法の適用範囲をフィルタリングを越えて、オプションプライシングや測度値過程の動的解析といった他の問題へ拡張する。

提案手法

• 非線形項を単純化するために、フィルタリング問題をフーリエ変換を用いて運動量空間に変換する。
• Fokker-Planck方程式内の非線形成分を多項式関数で近似する。
• 漸近展開を表す再帰的常微分方程式（ODE）系を導出する。
• 初期条件を更新しながら小さな時間間隔でODEを逐次的に解く部分ステップアルゴリズムを実装する。
• ODE系の単純さを活かして、高次項の計算を効率的に行う。
• 再帰的構造を活用して、条件付き分布のスケーラブルかつ数値的に安定した計算を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量空間における定式化は、確率的フィルタリングにおける漸近展開の数値的安定性と精度を向上させるか？
• RQ2 フーリエ変換と多項式近似を用いて導出された再帰的ODE系は、高次展開においてどの程度の性能を示すか？
• RQ3 部分ステップ法は、漸近近似の収束性と信頼性をどの程度向上させるか？
• RQ4 本手法は、測度値確率的ダイナミクスを含む他の問題へ一般化可能か？
• RQ5 高次項の影響は、条件付き分布近似の精度にどの程度寄与するか？

主な発見

• 運動量空間アプローチにより、複雑な非線形フィルタリング問題が再帰的ODE系に変換され、体系的な高次展開が可能になる。
• 非線形項に対する多項式近似の使用により、漸近フレームワーク内での解析的・数値的取り扱いが可能になる。
• 初期条件を更新する部分ステップ法は、数値的性能を著しく向上させ、標準的漸近法が崩壊する領域での失敗を防止する。
• 再帰的ODE構造により、高次項の計算が効率的に行えるようになり、実用的応用に向けたスケーラビリティが確保される。
• 本手法は、金融オプションプライシングやその他の測度値確率的過程への応用において強く有望である。
• 本手法は、非線形フィルタリングにおける従来の漸近的手法に代わる、強固で計算的に効率的な代替手段を提供する。