[論文レビュー] Momentum-space Lippmann-Schwinger-Equation, Fourier-transform with Gauss-Expansion-Method

Th. A. Rijken|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、配置空間の核子-核子ポテンシャルから運動量空間ポテンシャルを計算するための新規手法を提示する。この手法は、フーリエ変換にガウス展開法（GEM）を用い、質量パラメータをhiyama-kamimuraの幾何級数的進行法により設定することで、運動量空間ポテンシャルの解析的評価を可能にする。この方法により、特に初期運動量と最終運動量が異なる場合の数値的振動を回避し、フーリエ・ベッセル積分の解析的評価が可能となる。得られる運動量空間ポテンシャルは、ESC08cポテンシャルの配置空間結果と一致する高い精度でNN位相シフトを再現する。

ABSTRACT

In these notes we construct the momentum-space potentials from configuration-space using for the Fourier-transformation the Gaussian-Expansion-Method (GEM). This has the advantage that the Fourier-Bessel integrals can be performed analytically, avoiding possible problems with the oscillations in the Bessel functions for large r, in particular for $p_f eq p_i$. The mass parameters in the exponentials of the Gaussian base-functions are fixed using the geometric progression recipe of Hiyama-Kamimura. The fitting of the expansion coefficients is linearly and very fast. Application to nucleon-nucleon is given in detail for the recent Extended-soft-core model ESC08c. The NN phase shifts obtained by solving the Lippmann-Schwinger equations agree very well with those obtained in configuration-space solving the Schrödinger equations.

研究の動機と目的

• 配置空間核子-核子ポテンシャルを運動量空間形式に変換するための堅牢で解析的な手法の開発。
• 初期運動量と最終運動量が異なる場合に生じる、振動的ベッセル関数に起因するフーリエ・ベッセル積分における数値的不安定性の克服。
• 解析的に導出されたポテンシャルを用いた運動量空間におけるリッピマン＝シュヴィンガー方程式の効率的かつ高精度な解法の実現。
• 等スピンおよびチャネル空間における展開係数を行列形式に拡張することで、結合チャネルハイペロン-核子系への一般化。

提案手法

• 配置空間ポテンシャルを、hiyama-kamimuraの幾何級数的進行法により固定された質量パラメータを持つガウス関数の基底展開として表現する。
• 中心力、テンソル力、スピン軌道力、二次的スピン軌道力のフーリエ・ベッセル積分を、誤差関数および変形ベッセル関数を含む既知の積分形を用いて解析的に評価する。
• ガウス-ベッセル積分の解析的性質を活用することで、振動的ベッセル関数の数値積分を回避し、安定性と精度を確保する。
• 展開係数は、配置空間ポテンシャル値および体積積分への線形フィッティングにより決定され、運動量空間ポテンシャルの高速かつ高精度な再構成を可能にする。
• 本手法は拡張ソフトコアESC08cポテンシャルに適用され、Kowalski-NoyesおよびHaftel-Tabakin法によるリッピマン＝シュヴィンガー方程式の解法により妥当性が検証された。
• 結合チャネル（例：ΛN、ΣN）では、展開係数をアイソスピンおよびチャネル空間における2×2行列に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 配置空間ポテンシャルのフーリエ変換を運動量空間に解析的に実行することで、ベッセル関数に起因する数値的振動を回避できるか？
• RQ2 hiyama-kamimuraの質量パラメータ選択を用いたGEMにより、位相シフトを高精度に再現する運動量空間ポテンシャルが得られるか？
• RQ3 展開係数を行列形式に拡張することで、行列値の展開係数を用いた結合チャネルハイペロン-核子系への一般化が可能か？
• RQ4 GEMに基づく運動量空間ポテンシャルの計算効率は、運動量空間における直接的な数値積分と比較してどのように異なるか？

主な発見

• GEMを用いたフーリエ・ベッセル積分の解析的評価により、数値的安定性が確保され、特にp_f ≠ p_iの場合の振動が完全に排除される。
• GEMを用いて構築された運動量空間ポテンシャルは、ESC08cポテンシャルから得られる配置空間結果と一致する高い精度でNN位相シフトを再現する。
• 展開係数のフィッティングが線形かつ高速収束するため、わずか数個のGEM基底関数でさえも高い精度を達成する。
• シュヴィンガー表現の使用により、ガウス関数形の自然な導出が可能となり、メソン伝播子とGEM基底関数との間に明確な関係が得られる。
• リッピマン＝シュヴィンガー方程式を解くKowalski-Noyes法とHaftel-Tabakin法は、本質的に同一の位相シフトを生成し、本手法の整合性が裏付けられる。
• チャネル空間における展開係数を行列形式に拡張することで、ハイペロン-核子散乱のような結合チャネル系への容易な一般化が可能となる。