[論文レビュー] Monadic Dynamics

Stefano Gogioso|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、物理理論における力学的ダイナミクスを初期値問題として形式化する単関手的枠組みを提示し、合成的ダイナミクスが自然に標準的な時間の概念を定義することを示している。時間と変化が互いに定義し合うこと——アリストテレス的見解を裏付けること——を、ケイリー面をモノイドのクライスリ圏における自己同型として特徴づけ、経路空間形式と同等であることを証明することで確立している。

ABSTRACT

We develop a monadic framework formalising an operational notion of dynamics, seen as the setting and evolution of initial value problems, in general physical theories. We identify in the Eilenberg-Moore category the natural environment for dynamical systems and characterise Cauchy surfaces abstractly as automorphisms in the Kleisli category. Our main results formally vindicates the Aristotelian view that time and change are defined by one another. We show that dynamics which respect the compositional structure of physical systems always define a canonical notion of time, and give the conditions under which they can be faithfully seen as actions of time on physical systems. Finally, we construct state spaces and path spaces, and show that our framework to be equivalent to the path space approaches to dynamics. The monadic standpoint is thus as strong as the established paradigms, but the shift from histories to dynamics helps shed new light on the nature of time in physics. In the appendix we present some additional structures of wide applicability, introduce prop- agators and draft applications to quantum theory, classical mechanics and network theory.

研究の動機と目的

• 物理理論における力学的ダイナミクスの操作的概念を、初期値問題の設定とその進化として形式化すること。
• ダイナミカルシステムの自然な圏論的設定として、エイレンバーグ＝ムール圏を同定すること。
• モノイドのクライスリ圏における自己同型として、ケイリー面を抽象的に特徴づけること。
• 合成的ダイナミクスが標準的な時間の概念を生じることを確立し、時間と変化が相互に依存するというアリストテレス的見解を支持すること。
• 状態空間と経路空間を構成し、モノイド的枠組みと標準的な経路空間アプローチとの間の同等性を示すこと。

提案手法

• 物理系のダイナミクスをモデル化するためのモノイドの使用により、ダイナミカルシステムの圏論的環境をエイレンバーグ＝ムール圏が提供すること。
• 初期データの進化を符号化する射を表すためにクライスリ圏を用い、ケイリー面をこの圏における自己同型として特定すること。
• 圏論的構成を用いて状態空間と経路空間を定義し、既存の物理的定式化と整合性を保つこと。
• 圏論的同型を用いて、モノイド的枠組みと経路空間アプローチとの同等性を確立すること。
• 伝搬子などの導出構造を用いて、古典力学、量子理論、ネットワーク理論への適用を実施すること。
• 抽象的な圏論的道具を用いて、物理系全体にわたる合成的構造が保存されることを保証し、標準的な時間の定義を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして圏論を用いて物理理論におけるダイナミクスを初期値問題として形式的に捉えることができるか？
• RQ2 物理系の合成的構造が、どのようにして標準的な時間の概念を生じさせるのか？
• RQ3 ケイリー面を圏論的枠組み内でどのように抽象的に特徴づけることができるか？
• RQ4 ダイナミクスが物理系に時間の作用として忠実に解釈可能となる条件は何か？
• RQ5 モノイド的枠組みが、既存の経路空間定式化とどの程度同等であるか？

主な発見

• 物理系の合成的構造を尊重するダイナミクスは、常に標準的な時間の概念を定義する。これは、アリストテレス的見解——時間と変化が互いに依存する——を形式化するものである。
• ケイリー面は、モノイドのクライスリ圏における自己同型として形式的に特徴づけられ、抽象的で圏論的な定義が得られる。
• モノイド的枠組みは、標準的な経路空間定式化と圏論的に同等となる状態空間と経路空間を構成する。
• この枠組みは、既存のパラダイムと同等の強さを持つことが示され、歴史からダイナミクスへの視点の転換を通じて、物理学における時間の本質について新たな洞察を提供する。
• 付録に伝搬子および追加構造が導入されており、量子理論、古典力学、ネットワーク理論への草案的応用が示されている。
• モノイド的アプローチと経路空間アプローチとの同等性が形式的に確立され、この枠組みが既存の物理的形式的体系と整合的であることが裏付けられている。