[論文レビュー] Monge-Ampère Operators On Compact K\"Ahler Manifolds

Vincent Guedj, Ahmed Zériahi|arXiv (Cornell University)|May 12, 2005

Geometry and complex manifolds被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、L²勾配と有限自己エネルギーを有するω-多様体上での複素Monge-Ampère作用素の定義域を、コンパクトKähler多様体上のω-多様体上での複素Monge-Ampère作用素の範囲として特定し、Cegrellの局所的結果を一般化する。これらの結果は、複素力学系および特異的多様体上のKähler-Einstein計量の存在に応用される。

ABSTRACT

We study the complex Monge-Amp̀ ere operator on compact K\"ahler manifolds. We give a complete description of its range on the set of $ω-$plurisubharmonic functions with $L^2$ gradient and finite self energy, generalizing to this compact setting results of U.Cegrell from the local pluripoltential theory. We give some applications to complex dynamics and to the existence of K\"ahler-Einstein metrics on singular manifolds.

研究の動機と目的

• Cegrellによる複素Monge-Ampère作用素の局所的擬ポテンシャル理論の結果を、グローバルかつコンパクトKählerの設定に拡張すること。
• L²勾配と有限自己エネルギーを有するω-多様体上での複素Monge-Ampère作用素の範囲を特徴付けること。
• コンパクトKähler多様体上での複素力学系への応用を調査すること。
• ポテンシャル理論的手法を用いて、特異的コンパクトKähler多様体上でのKähler-Einstein計量の存在を検討すること。

提案手法

• コンパクトKähler多様体上でのω-多様体上での擬ポテンシャル関数の理論を用いる。
• 変分法とエネルギー推定を用いて、Monge-Ampère作用素の範囲を特徴付ける。
• L²勾配の境界と有限自己エネルギーの条件を用いて、正則性とコンパクト性を保証する。
• L²ソボレフ空間における双対性と弱コンパクト性を活用して、作用素の像を分析する。
• Kähler形式ωの構造を用いて、擬ポテンシャルを定義・制御する。
• 擬ポテンシャル理論の結果を、Kähler-Einstein計量を含むグローバル幾何学的問題に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L²勾配と有限自己エネルギーを有するω-多様体上での複素Monge-Ampère作用素の、コンパクトKähler多様体上での正確な範囲は何か？
• RQ2 Cegrellの局所的結果は、どのようにコンパクトKähler設定に拡張できるか？
• RQ3 この特徴付けは、コンパクトKähler多様体上での正則写像の力学にどのような意味を持つか？
• RQ4 ポテンシャル理論的枠組みを用いて、特異的コンパクトKähler多様体上でのKähler-Einstein計量の存在を示すことができるか？

主な発見

• L²勾配と有限自己エネルギーを有するω-多様体上での複素Monge-Ampère作用素の範囲は、完全に特徴付けられている。
• この特徴付けは、局所的擬ポテンシャル理論からのCegrellの結果を、グローバルかつコンパクトKählerの設定に一般化する。
• この手法は、コンパクト多様体上でのMonge-Ampère方程式の解の存在と正則性を保証する変分的フレームワークを提供する。
• Monge-Ampère方程式の可解性と正則性から、複素力学系への応用が導かれる。
• ポテンシャル理論的手法を用いて、特定の特異的コンパクトKähler多様体上でのKähler-Einstein計量の存在が支援される。
• 有限自己エネルギーとL²勾配の条件が、作用素の範囲のコンパクト性と適切な定義を保証することが示された。