[論文レビュー] Monge-Ampère operators on compact Kähler manifolds

Vincent Guedj, Ahmed Zériahi|ArXiv.org|Apr 12, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpakto Kähler多様体上の自然な特異な擬凸関数のクラス ${\mathcal{E}}^1(X,\omega)$ に対して、複素 Monge-Ampère作用素の完全な特徴付けを確立する。確率測度 $\mu$ が、$\sup_X \varphi = -1$ を満たす一意な $\omega$-psh 関数 $\varphi \in {\mathcal{E}}^1(X,\omega)$ の Monge-Ampère 測度であるための必要十分条件は、$\mathcal{E}^1(X,\omega) \subset L^1(\mu)$ であることである。この結果は、特異測度への古典的存在定理の一般化であり、複素力学における不変測度や Kähler-Einstein 計量の研究の基盤を提供する。

ABSTRACT

We study the complex Monge-Amp\` ere operator on compact Kähler manifolds. We give a complete description of its range on the set of $ω-$plurisubharmonic functions with $L^2$ gradient and finite self energy, generalizing to this compact setting results of U.Cegrell from the local pluripoltential theory. We give some applications to complex dynamics and to the existence of Kähler-Einstein metrics on singular manifolds.

研究の動機と目的

• 滑らかまたは有界な解を超えて、コンパクト Kähler 多様体上での複素 Monge-Ampère 作用素の理論を拡張すること。
• エネルギーが有限で、Monge-Ampère 測度に関して $L^1$ 可積分性を満たす $\omega$-擬凸関数のクラス $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ を定義し、その性質を研究すること。
• $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 上での Monge-Ampère 作用素の範囲を完全に特徴づけ、特異測度 $\mu$ に対する $[MA](X,\omega,\mu)$ の可解性を解明すること。
• 複素力学に応用し、最大エントロピー不変測度の存在を証明すること。また、特異多様体上の Kähler-Einstein 計量に対しても応用すること。
• 局所的擬凸関数論（Cegrell）とグローバルなコンパクト Kähler 幾何学を橋渡しし、境界条件の不在や作用素の同次性の喪失といった重要な相違点を強調すること。

提案手法

• $\omega$-psh 関数のクラス $\mathcal{E}(X,\omega)$ を導入し、$L^2$-勾配を持つことを保証することで、$k=2$ の場合に Monge-Ampère 作用素 $\omega_\varphi^k$ が適切に定義されることを示し、次に高次元へと拡張する。
• $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ を、$\omega_\varphi^k$ が適切に定義され、かつ $\varphi \in L^1(\omega_\varphi^k)$ を満たす $\omega$-psh 関数 $\varphi$ の集合として定義し、その星型凸性と最大値演算における安定性を確立する。
• 部分積分と連続性結果（定理 3.1）を用いて、$\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 内の Monge-Ampère 方程式の解が加法的定数の違いを除き一意的であることを証明する。
• $p>1$ の $\mathcal{E}^p(X,\omega)$ 内での近似により解を構成し、その後 $p=1$ に近づける。この際、一様推定と $L^1$-位相におけるコンパクト性を活用する。
• 主結果を複素力学に応用し、正則写像 $f$ に対して、最大エントロピー不変測度 $\mu_f$ が、$\mathcal{E}^1(X,\omega) \subset L^1(\mu_f)$ を満たす限り、$\mu_f = (\omega + dd^c g)^k$ を満たす一意な $g \in \mathcal{E}^1(X,\omega)$ が存在し、$\sup_X g = -1$ を満たすことを示す。
• 同様の枠組みが、特異多様体上の Kähler-Einstein 計量に対しても適用可能であることを示し、$\tilde{\omega}$ が大および半正定なクラスである場合に $[MA](\tilde{X},\tilde{\omega},\tilde{\mu})$ を解けることを示し、非 Kähler でも大コhomology クラスにまで結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたコンパクト Kähler 多様体上の確率測度 $\mu$ が、$\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 内の $\omega$-psh 関数の Monge-Ampère 測度であるための条件は何か？
• RQ2 解が特異であることを許容する場合、コンパクト Kähler 多様体上での Monge-Ampère 作用素の範囲を完全に特徴づけるにはどうすればよいか？
• RQ3 $\mathcal{E}^1$ クラスが、退化 Monge-Ampère 方程式の解の存在と一意性を保証する役割を果たすメカニズムは何か？
• RQ4 理論を非 Kähler だが大および半正定なコhomology クラスにまで拡張できるか。特に、特異多様体上の Kähler-Einstein 計量の文脈においては？
• RQ5 $\mathcal{E}^1$ 条件が、解の特異性と関連する測度の台をどの程度制御できるか？

主な発見

• 確率測度 $\mu$ が $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 上での Monge-Ampère 作用素の範囲にあるための必要十分条件は、$\mathcal{E}^1(X,\omega) \subset L^1(\mu)$ であることである。これは鋭い可解性基準を提供する。
• $\omega_\varphi^k = \mu$ の解が $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 内に存在する場合、特異測度に対しても加法的定数の違いを除き一意的である。
• $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ には有界でない関数が含まれるが、その Lelong 数はゼロであり、それでも Monge-Ampère 測度は適切に定義され、有限である。
• コンパクト Kähler 多様体上の正則写像 $f$ で $\lambda_1(f) > 1$ を満たすものに対して、最大エントロピー不変測度 $\mu_f$ は、$\mathcal{E}^1(X,\omega) \subset L^1(\mu_f)$ を満たす限り、$\mu_f = (\omega + dd^c g)^k$ を満たす一意な $g \in \mathcal{E}^1(X,\omega)$ が存在し、$\sup_X g = -1$ を満たす。
• $\mathbb{P}^2$ 上の複素力学における動的グリーン関数 $g^+, g^-$ は $\mathcal{E}^1(\mathbb{P}^2,\omega)$ には属さないが、その最大値 $g = \max(g^+, g^-)$ は属する。さらに $\int_X (-g) \omega_g^2 < \infty$ を満たすため、$\mu_f = (\omega + dd^c g)^2$ の可能性が示唆される。
• 結果は大および半正定なコhomology クラスへと拡張可能であり、特異多様体 $X$ の解像 $\tilde{X} \to X$ に対して、$\mathcal{E}^1(\tilde{X},\tilde{\omega})$ 内に解を構成できる。これにより、特異多様体上の Kähler-Einstein 計量の研究が可能になる。