[論文レビュー] Monge-Kantorovich distance for PDEs: the coupling method

Nicolas Fournier, Benoı̂t Perthame|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、熱方程式、フォッカー・プランク方程式、分数階熱方程式、ボルツマン方程式を含むさまざまなPDEの解間の輸送距離を分析するPDEに基づく結合手法を導入する。空間R²d上に2つの解u₁とu₂のための結合PDEを構築することにより、Monge-Kantorovich輸送コストが時間とともに減少することを証明し、適切なコスト関数のもとで、これらの方程式が非拡張性を示すことを確立する。

ABSTRACT

We informally review a few PDEs for which the Monge-Kantorovich distance between pairs of solutions, possibly with some judicious cost function, decays: heat equation, Fokker-Planck equation, heat equation with varying coefficients, fractional heat equation with varying coefficients, homogeneous Boltzmann equation for Maxwell molecules, and some nonlinear integro-differential equations arising in neurosciences. We always use the same method, that consists in building a coupling between two solutions. This amounts to solve a well-chosen PDE posed on the Euclidian square of the physical space, i.e. doubling the variables. Finally, although the above method fails, we recall a simple idea to treat the case of the porous media equation. We also introduce another method based on the dual Monge-Kantorovich problem.

研究の動機と目的

• 時間発展PDEの解間の輸送距離の減少を分析するための体系的でPDEに基づく結合手法を開発すること。
• 線形および非線形方程式を含む多様なPDEにわたる輸送コストの非拡張性の分析を統一すること。
• 確率的結合手法を確率過程を避ける決定的PDEフレームワークに拡張し、重要な収縮推定値を保持すること。
• 標準的な結合手法が失敗する場合（例えば、多孔質媒体方程式）、双対性や離散化を含む代替手法を導入すること。
• 既存の確率的および変分的手法を補完する、PDEのみに依存する収縮結果の厳密な導出を提供すること。

提案手法

• 2つの解u₁およびu₂に対して、時間連続過程の同時分布v(x, y, t)をモデル化するR²d上に結合PDEを構築する。
• v(x, y, t)の周辺分布が元のPDEを満たし、かつvが対角線x = y付近に集中することを保証する。
• 解間の距離を、輸送コストTϱ(u₁(t), u₂(t)) = ∫∫ ϱ(x, y)v(x, y, t) dx dy で定量化する。
• コスト関数ϱに関する適切な条件下で、d/dt ∫∫ ϱ(x, y)v(x, y, t) dx dy ≤ 0を示すことにより、Tϱの減少を証明する。
• 変数係数、分数階ラプラシアン、および運動論的散乱を含む方程式に適用するため、適切なコスト関数を構築する。
• 結合手法が失敗する多孔質媒体方程式については、双対表現と変数変換を用いて、非拡張性を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率過程に依存せずに、決定的PDE結合手法を用いて、PDEにおけるMonge-Kantorovich輸送コストの非拡張性を証明できるか？
• RQ2 熱方程式やフォッカー・プランク方程式のようなPDEの解に対して、Tϱ(u₁(t), u₂(t))が時間とともに非増加となるようなコスト関数ϱの条件は何か？
• RQ3 変数係数、分数階作用素、またはジャンプ過程を含むPDEに、結合手法をどのように適応できるか？
• RQ4 標準的な結合手法が多孔質媒体方程式ではなぜ失敗するのか？ どのような代替的手法が輸送コストの非拡張性を回復するか？
• RQ5 直接的な結合が失敗するPDEに対して、輸送コストの双対表現を用いて収縮性を証明できるか？

主な発見

• 滑らかなコスト関数ϱ(x, y) = r(|x−y|)を有する熱方程式に対して、Monge-Kantorovich距離Tϱは時間とともに非拡張的であり、d/dt Tϱ ≤ 0である。
• フォッカー・プランク方程式に対して、結合手法により、適切な条件下でT₁(u₁(t), u₂(t))が非増加であることが証明される。
• 変数係数を有する熱方程式∂ₜu − Δ(a(x)u) = 0に対して、ϱが特定の楕円型PDE条件を満たす限り、Tϱは非拡張的である。
• 変数係数を有する分数階熱方程式に対して、適切なコスト関数を用いることで、Tϱの減少が保証される。
• マクスウェル分子を有する同次ボルツマン方程式に対して、パラメータ化された衝突モデルを用いることで、結合手法によりT₁(u₁(t), u₂(t))が非増加であることが証明される。
• 多孔質媒体方程式に対しては、結合手法が失敗するが、双対表現と変数変換を用いることで、T₂(u₁(t), u₂(t))が非増加であり、I(t) = T₂(u₁(t), u₂(t))に対してI′(t) ≤ 0であることが示される。