[論文レビュー] Monitorability of $\omega$-regular languages

Andreas Bauer|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2010

Formal Methods in Verification参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ω-正則言語のモニタビリティ問題——有限観測後に言語が満たされているか、違反されているかを決定的に評価できるかどうか——が、LTL式、非決定的 Büchi 自動機（NBAs）、またはω-正則表現によって指定された場合に、PSpace-完全であることを確立している。主な貢献は、モニタビリティが多項式空間で決定可能であることを証明することで、長年の複雑さのギャップを埋め、安全性性質のチェックと同等の複雑さを達成したことである。

ABSTRACT

Arguably, omega-regular languages play an important role as a specification formalism in many approaches to systems monitoring via runtime verification. However, since their elements are infinite words, not every omega-regular language can sensibly be monitored at runtime when only a finite prefix of a word, modelling the observed system behaviour so far, is available. The monitorability of an omega-regular language, L, is thus a property that holds, if for any finite word u, observed so far, it is possible to add another finite word v, such that uv becomes a "finite witness" wrt. L; that is, for any infinite word w, we have that uvw \\in L, or for any infinite word w, we have that uvw \ ot\\in L. This notion has been studied in the past by several authors, and it is known that the class of monitorable languages is strictly more expressive than, e.g., the commonly used class of so-called safety languages. But an exact categorisation of monitorable languages has, so far, been missing. Motivated by the use of linear-time temporal logic (LTL) in many approaches to runtime verification, this paper first determines the complexity of the monitorability problem when L is given by an LTL formula. Further, it then shows that this result, in fact, transfers to omega-regular languages in general, i.e., whether they are given by an LTL formula, a nondeterministic Buechi automaton, or even by an omega-regular expression.

研究の動機と目的

• LTL や NBAs を用いて指定された場合に、ω-正則言語のモニタビリティをチェックする計算複雑性を特定すること。
• 以前に知られていた2ExpSpaceの上界と、安全性性質のチェックにおけるPSpace-完全性との間のギャップを埋めること。
• すべての標準的なω-正則言語表現形式について、モニタビリティが多項式空間で決定可能であることを示すこと。
• 交差、補集合、および和に関して、モニタブルなω-言語の閉包性質を確立すること。
• 実行時検証やモニタ生成の前に、モニタ不能な仕様を事前に特定するための実用的基盤を提供すること。

提案手法

• 3値意味論フレームワークを用いて、LTL および NBA におけるモニタビリティ問題を、すべての有限接頭辞が良い接頭辞または悪い接頭辞であるかどうかをチェックする問題に還元する。
• 良い接頭辞と悪い接頭辞の双対性を利用：言語がモニタブルであるとは、すべての有限語が良い接頭辞または悪い接頭辞であることに他ならない。
• NBAの補集合を用いて、補集合言語の空集合のチェックを行う。これは既知のLogSpace-完全である。
• NBAの閉包性質、特に決定化および補集合化を用いて、多項式時間でモニタビリティ条件を検証する。
• NBAsへの多項式時間変換を介して、ω-正則表現からNBAsへの複雑さの結果を転送する。
• 効率的なモニタビリティ条件の検証のため、決定的 Büchi 自動機（DBAs）の空集合問題への還元を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LTL式がモニタブルなω-正則言語を定義するかどうかを判定する計算複雑性は何か？
• RQ2 NBA や ω-正則表現におけるモニタビリティ問題もPSpace-完全であるか、それより高い複雑さクラスに属するか？
• RQ3 標準的な言語操作（交差、補集合、和）に関して、モニタブルなω-言語を閉包性質で特徴づけられるか？
• RQ4 ω-正則言語のモニタビリティは、指定形式（例：LTL 対 NBA 対 ω-正則表現）の選択に依存するか？
• RQ5 モニタビリティは多項式空間で決定可能であり、安全性性質のチェックと同等の複雑さを持つのか？

主な発見

• LTL および NBA におけるモニタビリティ問題はPSpace-完全である。これは長年の複雑さのギャップを解消する。
• ω-正則表現に対しても結果が拡張可能であり、多項式時間でNBAsに変換可能であるため、モニタビリティ状態が保存される。
• モニタブルなω-言語は、有限交差、補集合、および和に関して閉じており、ブール演算において堅牢なクラスを形成する。
• モニタブル言語のクラスは、安全性性質のクラスを厳密に拡張しており、より広い表現力を持つことが確認された。
• モニタビリティの複雑さは、安全性性質のチェックと同一であり、事前分析による効率的なスペック検査が可能になる。
• 本論文は、無駄なモニタ生成を避けるために、事前にモニタ不能なスペックを特定するための実用的基盤を提供している。