[論文レビュー] Monochromatic cycles and the monochromatic circumference in 2-coloured graphs

Alex Scott, Matthew White|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Li, Nikiforov, Schelp が提起した予想を証明する。2色に塗られたグラフで最小次数が $\frac{3}{4}n$ を超えるものについては、すべての長さ $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$ の単色サイクルが存在する。また、$\delta(G) = \frac{3}{4}n$ を達成する極値グラフは、2-部グラフとしての2色付けを施した $K_{p,p,p,p}$ のブロー・アップとして特徴づけられる。さらに、このようなグラフは、単色サイクルの周長が $\left(\frac{2}{3} + \frac{\delta}{2}\right)n$ 以上であるか、あるいは1色にすべての長さ $\ell \in \left[3, \left(\frac{2}{3} - \delta\right)n\right]$ の単色サイクルが存在する。

ABSTRACT

Li, Nikiforov and Schelp conjectured that a 2-edge coloured graph G with order n and minimal degree strictly greater than 3n/4 contains a monochromatic cycle of length l, for all l at least four and at most n/2. We prove this conjecture for sufficiently large n and also find all 2-edge coloured graphs with minimal degree equal to 3n/4 that do not contain all such cycles. Finally we show that, for all positive constants d and sufficiently large n, a 2-edge coloured graph G of order n with minimal degree at least 3n/4 either contains a monochromatic cycle of length at least (2/3+d/2)n, or, in one of the two colours, contains a cycle of all lengths between three and (2/3-d)n.

研究の動機と目的

• 2色に塗られたグラフで $\delta(G) > \frac{3}{4}n$ のとき、すべての長さ $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$ の単色サイクルが存在することを証明すること。
• すべての単色サイクルを避けるような $\delta(G) = \frac{3}{4}n$ の2色グラフを特徴づけること。
• 最小次数 $\delta(G) \geq \frac{3}{4}n$ の2色グラフにおける単色サイクルの周長に対するタイトな下界を確立すること。
• $k$-色グラフへの一般化を行い、高さの最小次数を持つ $k$-色グラフにおける単色サイクルの存在に関する予想を提示すること。

提案手法

• 完全4部グラフ $K_{p,p,p,p}$ に2-部グラフとしての2色付けを施した極値グラフを構築することで、$\frac{3}{4}n$ の次数境界のタイトさを示す。
• 極値グラフ理論における安定性および正則性の手法を用いて、密度の高い2色グラフの構造を分析する。
• 赤と青の部分グラフにおけるサイクル分布の確率的および組合せ的解析により、単色サイクル長の境界を導出する。
• 単色サイクル周長の境界の漸近的タイトさを示すために、$F_{s,t}$ および $G_t^{(r)}$ のようなグラフ族を定義する。
• 頂点類にラベルを付けるスキームを用いて、各色クラスにおいて2部グラフ性を強制し、奇数の単色サイクルを含まない極値例を構築する。
• パンシクル性およびハミルトン性に関する既知の結果（例：Diracの定理やBundyの定理）を、2色グラフへの類似に基礎として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての2色グラフで最小次数が $> \frac{3}{4}n$ のとき、すべての長さ $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$ の単色サイクルが存在するか？
• RQ2 $\delta(G) = \frac{3}{4}n$ で、このようなすべての単色サイクルを避ける極値2色グラフは何か？
• RQ3 最小次数 $\delta(G) \geq \frac{3}{4}n$ の2色グラフにおける単色サイクルの周長の最小値は何か？
• RQ4 結果を最小次数が高い $k$-色グラフに一般化できるか？
• RQ5 $c < \frac{3}{4}$ のとき、単色サイクル周長関数 $\Phi_c$ の正確な値は何か？

主な発見

• Li, Nikiforov, Schelp が提起した予想は、十分に大きな $n$ に対して確認された。すべての2色グラフで $\delta(G) > \frac{3}{4}n$ のとき、すべての長さ $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$ の単色サイクルが存在する。
• $\delta(G) = \frac{3}{4}n$ を達成するが、すべてのこのような単色サイクルを含まない唯一の極値グラフは、$n = 4p$ のときの2-部グラフとしての2色付けを施した完全4部グラフ $K_{p,p,p,p}$ である。
• $\delta > 0$ および十分に大きな $n$ に対して、$\delta(G) \geq \frac{3}{4}n$ の2色グラフは、単色サイクルの周長が $\left(\frac{2}{3} + \frac{\delta}{2}\right)n$ 以上であるか、あるいは1色にすべての長さ $\ell \in \left[3, \left(\frac{2}{3} - \delta\right)n\right]$ の単色サイクルが存在する。
• $c \geq \frac{3}{4}$ のすべての $c$ に対して $\Phi_c = \frac{2}{3}$ が確立され、$G_t^{(r)}$ のような構成により、これが漸近的にタイトであることが示された。
• $F_{2t+r,t}$ の極値構成により、$n = 3t + r$ のとき、単色サイクル周長 $2t + r$ の予想が最良であることが示された。
• $k$-色グラフへの類似を提示：$\delta(G) \geq \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)n$ のとき、すべての長さ $\ell \in \left[\min\{2^k, 3\}, \lceil n/2^{k-1} \rceil\right]$ のサイクルがいずれかの色で単色であるか、$G$ は $k$-部グラフとしての $k$-色付けを施した完全 $2^k$-部グラフである。