[論文レビュー] Monochromatic disconnection: Erdős-Gallai-type problems and product graphs

Ping Li, Xueliang Li|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、すべての頂点対が単色の辺カットによって分離されるようなエッジ彩色における色の最大数として定義される単色非接続数 $md(G)$ を調査する。この不変量に関するエルデシュ＝ガライ型の極値問題を解き、カルテシアン、ストロング、辞書的、テンソル積の4つのグラフ積について $md(G)$ の正確な値を導出し、少なくとも一方の因子が非二部グラフで端点を含まない場合、$md(G \ast H) \leq \min\{g_o(G), g_o(H)\}$ が成り立つことを示している。

ABSTRACT

For an edge-colored graph $G$, we call an edge-cut $M$ of $G$ monochromatic if the edges of $M$ are colored with a same color. The graph $G$ is called monochromatically disconnected if any two distinct vertices of $G$ are separated by a monochromatic edge-cut. The monochromatic disconnection number, denoted by $md(G)$, of a connected graph $G$ is the maximum number of colors that are allowed to make $G$ monochromatically disconnected. In this paper, we solve the Erdős-Gallai-type problems for the monochromatic disconnection, and give the monochromatic disconnection numbers for four graph products, i.e., Cartesian, strong, lexicographic, and tensor products.

研究の動機と目的

• すべての頂点対が単色の辺カットによって分離されるようなエッジ彩色における色の最大数を特徴付ける。
• 単色非接続数 $md(G)$ に関するエルデシュ＝ガライ型の極値問題を解き、与えられた制約下で $md(G)$ を最大または最小にする極値グラフを同定する。
• カルテシアン、ストロング、辞書的、テンソル積の4つの標準的グラフ積について $md(G)$ の正確な値を決定する。
• 特に、一方の因子に三角形を含む、または $n \geq 5$ の完全グラフ $K_n$ である場合に $md(G \ast H) = 1$ となるような構造的条件を確立する。
• 非二部グラフの因子の奇数の周囲を用いて $md(G \ast H)$ の一般化された上限を導出し、サイクル構造に基づいたタイトな上限を提供する。

提案手法

• 同じ色のエッジからなる辺カット（単色の辺カット）の概念を用いて、単色非接続と単色非接続数 $md(G)$ を定義する。
• ブロック分解とスパニング部分グラフを含む構造的グラフ理論を用い、問題を木やサイクルなどのより単純な成分に還元する。
• 帰納法と部分グラフ制限技術を用いて $md(G \ast H)$ を評価し、特に $G$ の部分グラフ $G'$ についての $md(G' \ast H)$ を分析する。
• 非二部グラフ $G$ の奇数の周囲 $g_o(G)$ を $md(G \ast H)$ を制限する主要パラメータとして用い、$md(G \ast H) \leq \min\{g_o(G), g_o(H) olimits\}$ を示す。
• 既知の $md(K_n)$、$md(K_n^-)$、$md(K_{n,t})$ の結果を活用し、$n \geq 5$ の完全グラフ $K_n$ を因子に持つ場合に $md(G \ast H) = 1$ となることを導出する。
• 製品グラフにおけるソフトレイヤーと頂点列の概念を用いて、色によって誘導されるエッジ集合の構造を制御し、$MD$-彩色を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結グラフ $G$ のエッジ彩色において、すべての頂点対が単色の辺カットによって分離されるような色の最大数 $md(G)$ は何か？
• RQ2 頂点数、最小次数、またはサイクル構造などの制約下で、$md(G)$ の極値を達成するグラフはどれか？
• RQ3 カルテシアン、ストロング、辞書的、テンソル積の4つの標準的グラフ積において、単色非接続数はどのように振る舞うか？
• RQ4 特に一方の因子が完全グラフまたは三角形を含む場合に、$md(G \ast H) = 1$ となる条件は何か？
• RQ5 製品グラフの単色非接続数は、その因子の奇数の周囲を用いて上界で抑えられるか？

主な発見

• 連結グラフ $G$ の位数が $n$ のとき、単色非接続数 $md(G)$ は $1 \leq md(G) \leq n-1$ を満たし、$md(G) = n-1$ となるのは $G$ が木である場合に限り、かつそのときに限る。
• サイクル長が $n$ のユニサイクルグラフ $G$ について、$G$ が三角形でない限り $md(G) = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$ であり、そうでない場合 $md(G) \leq n-2$ である。
• カルテシアン積 $G \Box H$ について、$G$ と $H$ がともに非二部グラフで端点を含まない場合、$md(G \Box H) \leq \min\{g_o(G), g_o(H)\}$ が成り立つ。
• テンソル積 $G \times H$ について、$G$ と $H$ がともに非二部グラフで最小次数が2以上である場合、$md(G \times H) \leq \min\{g_o(G), g_o(H)\}$ が成り立つ。
• もし $H = K_n$ で $n \geq 5$ であれば、$|G| \geq 2$ なる任意の連結グラフ $G$ に対して $md(G \times H) = 1$ である。これは $K_n$ の高い連結性と奇数の周囲によるものである。
• もし $G$ が木でも、$K_3$ サイクルを持つユニサイクルでもなく、$H$ が三角形を含み、端点を含まない場合、$md(G \times H) = 1$ である。