[論文レビュー] Monodromie d'une famille d'hypersurfaces

Ania Otwinowska|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2004

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ひとこと要約

本稿は、複素射影多様体内の滑らか hypersurface の族に関する古典的なモノドロミー結果を、次元 $n$ の固定された閉部分スキーム $W$ を含む場合に拡張する。$N \geq 2n$ かつ十分大きな次数 $d \geq Ce$ のとき、$H^N(X_F, \mathbb{C})$ 内の自然な部分空間 $H(W)$ の直交補空間上のモノドロミー表現が無限大であることを示し、次数の上限のもとで特異部分多様体に対しても Lefschetz の無限大定理を一般化する。

ABSTRACT

I describe the monodromy of smooth hypersurfaces $X$ of high degree in a fixed smooth variety $Y$ containing a fixed subvariety $W$ of $Y$. The cohomology of $X$ in middle degree spanned by the pull-back of the cohomology of $Y$ and by the classes of the irreducible components of $W$ is monodromy invariant. I show that the monodromy representation on the orthogonal of those classes is irreducible. The proof is essentially topological. Difficulties arise from the fact that $W$ may have arbitrary singularities.

研究の動機と目的

• 滑らかな hypersurface のための古典的モノドロミー結果を、固定された閉部分スキーム $W$ を含む族に一般化すること。
• 滑らかな hypersurface $X_F$ の中間コホロジー $H^N(X_F, \mathbb{C})$ におけるモノドロミー作用を理解すること。
• $H(W)$ の直交補空間上のモノドロミー表現が無限大である条件を特定すること。
• $Y$ にのみ依存する $C$ を用いて、無限大を保証する次数の閾値 $d \geq Ce$ を確立すること。
• $W$ が特異である場合に、モノドロミー無限大結果が滑らかでない場合にまで拡張可能かどうかを検討すること。

提案手法

• $W$ を次元 $n$ の固定された閉部分スキームとするとき、次数 $d$ の滑らかな hypersurface の空間を $\mathcal{V}^d(W)$ と定義する。
• $N=2n$ のとき、$H(W) \subset H^N(X_F, \mathbb{C})$ を $Y$ からの引き戻しと $W$ の既約成分で張られる部分空間とし、Poincaré双対性と交差形式の非退化性により、$H^N(X_F, \mathbb{C}) = H(W) \oplus H(W)^\perp$ に分解する。
• 硬い Lefschetz定理と退化理論を用いて、特に Picard-Lefschetz 公式を通じて $H(W)^\perp$ 上のモノドロミーを分析する。
• チャーン類と生成関数を用いて、hypersurface のコホロジーのベッチ数およびオイラー特性の漸近的推定を行う。
• Hodgeフィルトレーションの構造とモノドロミー作用の性質を分析することにより、$d \geq Ce$ のとき $H(W)^\perp$ 上のモノドロミー表現が無限大であることを証明する。ここで $C$ は $Y$ のみに依存する。
• 特異な場合を扱うために、非通常の特異点を持つため、標準的な Lefschetz 型の議論が失敗することを示すが、$C=1$ の場合でも無限大性が成立すると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された部分スキーム $W$ を含む次数 $d$ の滑らかな hypersurface の空間 $\mathcal{V}^d(W)$ が非空である条件は何か？
• RQ2 $X_F$ が固定された部分スキーム $W$ を含むとき、$H^N(X_F, \mathbb{C})$ 上のモノドロミー作用はどのように分解されるか？
• RQ3 $H(W)^\perp$ 上のモノドロミー表現が無限大であることを保証する正確な次数閾値 $d \geq Ce$ は何か？
• RQ4 $W$ が特異である場合、特に非通常の特異点を持つ場合に、モノドロミー無限大結果が拡張可能か？
• RQ5 標準的な Lefschetz 退化議論が失敗するにもかかわらず、$W$ が特異であっても $C=1$ で $H(W)^\perp$ 上のモノドロミーが無限大であることを示せるか？

主な発見

• $N < 2n$ のとき、すべての $d \geq e$ に対して $\mathcal{V}^d(W)$ は空である。ここで $e$ は $I_W$ の次数の上限である。
• $N \geq 2n$ のとき、すべての $d \geq Ce$ に対して、$H(W)^\perp \subset H^N(X_F, \mathbb{C})$ 上のモノドロミー表現は無限大である。ここで $C \in \mathbb{R}^*_+$ は $Y$ のみに依存する。
• 部分空間 $H(W)$ は $\pi_1(\mathcal{V}^d(W), F)$-不変であり、$H^N(X_F, \mathbb{C}) = H(W) \oplus H(W)^\perp$ の分解は交差形式に関して直交する。
• ベッチ数およびオイラー特性の漸近的推定をチャーン類と生成関数を用いて行い、$H(W)^\perp$ 上のモノドロミーの無限大性を確立する。
• $W$ が滑らかであれば、ブロー・アップによる Lefschetz 型退化が存在するため、$C=1$ で結果が成り立つが、この議論は特異な $W$ では失敗する。
• 本稿は、$W$ が特異であっても $C=1$ で $H(W)^\perp$ 上のモノドロミーが無限大のままであると予想するが、標準的な証明手法は拡張できない。