[論文レビュー] Monogamy of $\alpha$th Power Entanglement Measurement in Qubit Systems

Yu Luo, Yongming Li|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 17被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、N-qubit系におけるエンタングルメント尺度のα乗—ネガティビティと凸包拡張ネガティビティ（CREN）—のモノガミー不等式を確立し、これらの尺度がα ≥ 2でモノガミー的、α ≤ 0でポリガミー的であることを証明する。さらに、GHZ状態とW状態を用いて、0 < α < 2におけるconcurrenceのα乗および0 < α ≤ 1/2におけるエンタングルメントの形成（EoF）のα乗のモノガミー的性質を区別できることを示し、concurrenceとネガティビティの間で異なるモノガミー的挙動を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper, we study the $\alpha$th power monogamy properties related to the entanglement measure in bipartite states. The monogamy relations related to the $\alpha$th power of negativity and the Convex- Roof Extended Negativity are obtained for N-qubit states. We also give a tighter bound of hierarchical monogamy inequality for the entanglement of formation. We find that the GHZ state and W state can be used to distinguish the $\alpha$th power the concurrence for $0<\alpha<2$. Furthermore, we compare concurrence with negativity in terms of monogamy property and investigate the difference between them.

研究の動機と目的

• N-qubit系におけるα乗エンタングルメント尺度のモノガミー的性質を調査すること。
• αのどの値のとき、ネガティビティおよびCRENのα乗がモノガミーまたはポリガミー不等式を満たすかを特定すること。
• concurrenceとネガティビティのモノガミー的挙動を比較し、それらのα依存的性質の違いを特定すること。
• GHZ状態とW状態を用いて、α乗エンタングルメント尺度のモノガミー的挙動を区別すること。
• エンタングルメントの形成（EoF）のα乗に対する階層的モノガミー不等式を改善し、α ≥ √2の範囲で成立することを示すこと。

提案手法

• スミット分解を用いて2⊗m⊗n系におけるネガティビティとconcurrenceの関係を導出し、純粋状態ではNA|BC = CA|BCが成り立つことを示す。
• 既知のconcurrenceのα乗（Cα）に対するα ≥ 2のモノガミー結果を応用し、concurrenceとネガティビティの等価性を用いてNαおよびeNαのモノガミー性を証明する。
• 凸包拡張を用いてCREN（eN）を定義し、同様のconcurrenceに基づく議論により、eNαのモノガミー性を証明する。
• モノガミー性を定量化するための一般化された「残差タングル」τX = Xα(A|BC) − ∑Xα(A|Ai) を導入する。ここでXはネガティビティ、CREN、またはEoFを表す。
• N-qubitのGHZ状態およびW状態について、αの変動に応じてτC、τN、τEを解析し、モノガミー／ポリガミー領域を特定する。
• 2進エントロピー関数の近似と微積分を用いてτE(|W⟩)の上限を評価し、α ≤ 1/2の範囲で負であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N-qubit系において、ネガティビティのα乗がモノガミー的性質を満たすαの値は何か？
• RQ2 GHZ状態とW状態は、0 < α < 2におけるconcurrenceのα乗のモノガミー的挙動を区別できるか？
• RQ3 エンタングルメントの形成（EoF）のα乗は階層的モノガミーを示すか？そのαの値は何か？
• RQ4 concurrenceとネガティビティのモノガミー的性質は、特に0 < α < 2の範囲でどのように異なるか？
• RQ5 W状態の残差タングルτNは常に負であるか、それとも特定のα ∈ (0,2)では正である可能性があるか？

主な発見

• N-qubit純粋状態において、ネガティビティのα乗（Nα）はα ≥ 2でモノガミー的、α ≤ 0でポリガミー的である。
• CRENのα乗（eNα）についても、α ≥ 2でモノガミー的、α ≤ 0でポリガミー的である。
• N-qubitのW状態について、0 < α < 2の範囲でτC(|W⟩) < 0であり、Cαがポリガミー的であることを確認する。一方、τN(|W⟩)はαとNに依存して正または負の値を取る。
• EoFの残差タングルτE(|W⟩)は0 < α ≤ 1/2およびN ≥ 3の範囲で負であり、この領域でEαの階層的モノガミー性が証明される。
• 1/2 < α < √2の範囲でτE(|W⟩)は正である可能性があり、Eαがこの範囲でモノガミー的でないことを示唆する。
• GHZ状態は0 < α < √2の範囲でCα（τC > 0）およびEα（τE > 0）に対してモノガミー的であるが、W状態は特定のα区間でCαおよびEαに対してポリガミー的である。これは、2つの尺度の間で顕著な差を示している。