[論文レビュー] Monoidal bicategories, differential linear logic, and analytic functors

Harington, Eliès, Mimram, Samuel|arXiv (Cornell University)|May 9, 2024

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、線形指数的双代数的2-モノイド圏と微分的双代数的2-モノイド圏を用いて、微分線形論理の双圏的枠組みを提示する。ジョーランの解析的函手の計算を、プレシャーフ圏間の函手へと拡張し、プロファンクターとカテゴリカルな対称列を用いて単変数から多変数微分計算へ一般化する。双圏的設定において、ライブニッツ則と合成則の明示的検証がなされる。

ABSTRACT

The notion of categorical model of linear logic is now well studied and established around the notion of linear-non-linear adjunction, which encompasses the earlier notions of Seely categories, Lafont categories and linear categories. These categorical structures have counterparts in the realm of ∞-categories, which can thus be thought of as weak forms of models of linear logic. The goal of this article is to formally introduce them and study their relationships. We show that ∞-linear-non-linear adjunctions still play the role of a unifying notion of model in this setting. Moreover, we provide a sufficient condition for a symmetric monoidal ∞-category to be Lafont. Finally, we illustrate our constructions by providing models: we construct linear-non-linear adjunctions that generalize well-known models in relations (and variants based on profunctors or spans), domains and vector spaces. In particular, we introduce a model based on spectra, a homotopical variant of abelian groups.

研究の動機と目的

• 微分線形論理のための線形指数的双代数的2-モノイドと双対性の双圏的双対を構築すること。
• Setからプレシャーフ圏間の函手へ、ジョーランの解析的函手理論を一般化すること。
• カテゴリカルな対称列の文脈において、微分計算の法則（ライブニッツ則や合成則など）が成り立つことを確立すること。
• 2-圏的設定における線形論理および微分線形論理のモデルを統合的に扱う枠組みを提供すること。
• プロファンクター上の双代数的2-モノイドのクレイスリー双圏が直積閉であり、整合性のある微分の計算を可能とすることを示すこと。

提案手法

• モノイド的双圏における双代数的2-モノイドと双代数的2-代数を導入し、線形指数的構造をモデル化する。
• 微分計算に類似した公理を満たす自然変換 $\bar{d}_A : A \to !A$ を用いて双対性変換を定義する。
• 双圏 $\mathbf{Prof}$ において、射はプロファンクターとし、$!A$ は $A$ 上の自由な対称的厳密モノイド圏を表す。非線形写像をモデル化する。
• カテゴリカルな対称列 $F : A \to B$ の微分を、プロファンクター $dF : A \times !A \to B$ として構成し、$dF(b, (a, \alpha)) = F(b, \alpha \setminus \{a\})$ で与える。
• 双圏 $\mathbf{Prof}$ のコンパクト閉構造の内部ホムを用いて、微分をクレイスリー双圏内の射として解釈する。
• 双対性の公理が、双圏的設定において標準的な微分計算の法則（ライブニッツ則、合成則など）を導くことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形指数的双代数的2-モノイドの理論をモノイド圏からモノイド的双圏へどのように拡張できるか。
• RQ2 双対性変換の双圏的双対とは何か。そして、2-圏的設定における微分計算をどのように支援するか。
• RQ3 プロファンクターと対称列を用いて、ジョーランの解析的函手理論をプレシャーフ圏間の函手へ一般化できるか。
• RQ4 微分計算の基本法則（ライブニッツ則と合成則）は、この双圏的枠組みにおいて成り立つか。
• RQ5 双圏 $\mathbf{Prof}$ 上の双代数的2-モノイドのクレイスリー双圏は直積閉か。また、これにより線形論理の定量的意味論がどのように支援されるか。

主な発見

• 双圏 $\mathbf{Prof}$ 上の双代数的2-モノイド $!$ は、線形指数的双代数的2-モノイドの公理を満たし、線形論理の双圏的モデルを可能にする。
• 関連する文脈において双対性変換 $\bar{d}_A : A \to !A$ が可逆であることが示され、微分構造との整合性が裏付けられる。
• カテゴリカルな対称列 $F : A \to B$ の微分は、明示的に $dF(b, (a, \alpha)) = F(b, \alpha \setminus \{a\})$ で与えられ、ジョーランの微分公式が一般化される。
• 関連する解析的函手 $F_X(b) = \int_{\alpha \in !A} F(b, \alpha) \times X^\alpha$ は、双圏的設定においてライブニッツ則と合成則を満たす。
• クレイスリー双圏 $\mathbf{CatSym} = \mathbf{Prof}^!$ は直積閉であり、直積は双積、指数は $A \multimap B = !A^{\mathrm{op}} \times B$ で与えられる。これは [FGHW08] の結果を一般化する。
• 双圏 $\mathbf{Prof}$ における双対性の公理は、プレシャーフ圏間の解析的函手に適用された際、古典的微分計算の法則（合成則、ライブニッツ則など）の双対をもたらす。