[論文レビュー] Monoidal computer II: Normal complexity by string diagrams

Duško Pavlović|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2014

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ストリング図を用いて、機械に依存しない方法で計算と計算量を形式化するカテゴリカルな枠組みにおいて、通常の計算量測度を導入する。時間計算量と空間計算量が通常の測度であることが示され、計算量の評価がプログラム実行と同等にコストが低いことから、仮説検証やアルゴリズム的学習における実行時利用が可能になる。

ABSTRACT

In Monoidal Computer I, we introduced a categorical model of computation where the formal reasoning about computability was supported by the simple and popular diagrammatic language of string diagrams. In the present paper, we refine and extend that model of computation to support a formal complexity theory as well. This formalization brings to the foreground the concept of normal complexity measures, which allow decompositions akin to Kleene's normal form. Such measures turn out to be just those where evaluating the complexity of a program does not require substantially more resources than evaluating the program itself. The usual time and space complexity are thus normal measures, whereas the average and the randomized complexity measures are not. While the measures that are not normal provide important design time information about algorithms, and for theoretical analyses, normal measures can also be used at run time, as practical tools of computation, e.g. to set the bounds for hypothesis testing, inductive inference and algorithmic learning.

研究の動機と目的

• カテゴリカルかつ図式的な手法を用いて、機械に依存しない計算量理論を構築すること。
• 測定対象のプログラムと同等に計算コストが低い計算量測度を形式化すること。
• クレーニー流の正規形を支える「通常」の計算量測度を特定・特徴付けること。
• 計算量の境界を実行時において利用可能にする仕組みを提供することで、理論的計算量と実際の計算のギャップを埋めること。
• 圏論を用いて計算可能性、計算量、暗号理論に関する高レベルな推論の基盤を提供すること。

提案手法

• モノイダル圏において、実行トレースとプログラム変換をストリング図で表現する。
• オブジェクトが複雑さのグレード（例：時間ステップや空間ステップ）でラベル付けされたグレーデッドモノイダルコンピュータを導入する。
• 圏内でのトレース評価器と汎用評価器の内部化により正規化を定義する。
• 通常の計算量測度を、圏論的正規化条件を満たすブルーム測度として特徴付ける。
• C♮における内部述語と停止関数を用いて、計算量評価の意思決定手続きを表現する。
• 通常の測度がクレーニーに類似した正規形を有し、複雑さを単一の探索操作に還元できることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの計算量測度が、測定対象のプログラムと同等に計算コストが低いのか。
• RQ2 圏論を用いて、機械に依存しない高レベルな枠組みで計算量理論を形式化するにはどうすればよいか。
• RQ3 どの計算量測度がクレーニーの正規形定理の圏論的版を許容するのか。
• RQ4 仮説検証や帰納的推論などのタスクにおいて、計算量の境界を実行時において効果的に利用できるか。
• RQ5 時間計算量と空間計算量の統一的枠組みにおける、圏論的構造は何か。

主な発見

• 通常の計算量測度とは、計算量の評価がプログラム自体の評価と同等かそれ未満のコストで行えるものであり、圏論的正規化条件を満たす。
• 時間計算量と空間計算量が通常の測度であることが示され、平均計算量と確率的計算量はそうではない。
• この枠組みは、計算を符号化された実行トレース上の単一の探索に還元する、クレーニーの正規形の圏論的版をサポートする。
• ストリング図は、モノイダル圏における複雑さの表現と推論の自然かつ構成的な言語を提供する。
• グレーディングとトレース評価の内部化により、異なる計算モデル間での複雑さの均一な取り扱いが可能になる。
• 通常の測度は、帰納的推論やアルゴリズム的学習における境界設定といった実用的タスクで実行時において利用可能である。